38.拟建一个容积为V的长方体水池,设它的底为正方形,如果池底单位面积的造价是四周单位面积-|||-造价的2倍,试将总造价表示成底边长的函数,并确定此函数的定义域.

考查要点：本题主要考查函数建模与实际问题中的定义域确定，涉及几何体的体积、表面积计算及分段费用的叠加。

解题核心思路：

1. 设定变量：以底边长$x$为自变量，表示水池深度、底面积、侧面积。
2. 分项计算费用：分别计算池底和四周的造价，注意池底单位造价是四周的2倍。
3. 总造价叠加：将池底和四周的造价相加，得到总造价函数。
4. 确定定义域：根据实际问题中长度的物理意义，确定$x$的取值范围。

破题关键点：

• 正确表达深度：通过体积公式$V = x^2 h$，解出深度$h = \dfrac{V}{x^2}$。
• 区分单位造价：池底造价为$2a$，四周造价为$a$，分别对应底面积和侧面积的计算。

步骤1：设定变量与深度表达式
设底边长为$x$，则底面积为$x^2$，水池深度为$h = \dfrac{V}{x^2}$。

步骤2：计算池底造价
池底单位面积造价为$2a$，总造价为：
$2a \cdot x^2 = 2a x^2.$

步骤3：计算四周造价
四周每个侧面的面积为$x \cdot h = x \cdot \dfrac{V}{x^2} = \dfrac{V}{x}$，四个侧面总面积为：
$4 \cdot \dfrac{V}{x} = \dfrac{4V}{x}.$
四周单位面积造价为$a$，总造价为：
$a \cdot \dfrac{4V}{x} = \dfrac{4aV}{x}.$

步骤4：总造价函数
总造价$P$为池底与四周造价之和：
$P = 2a x^2 + \dfrac{4aV}{x} = 2a \left( x^2 + \dfrac{2V}{x} \right).$

步骤5：确定定义域
底边长$x$必须满足：

1. $x > 0$（长度为正）；
2. 深度$h = \dfrac{V}{x^2}$存在（$x \neq 0$）。
   因此定义域为：
   $0 < x < +\infty.$