[题目]求函数 =2sin 3x, .in [ -dfrac (pi )(6),dfrac (pi )(6)] 的反函-|||-数.

考查要点：本题主要考查反三角函数的概念及反函数的求解方法，需要掌握原函数与反函数之间的关系，以及定义域与值域的对应转换。

解题核心思路：

1. 确定原函数的单调性：在给定区间内验证原函数是否单调，从而保证反函数存在。
2. 解方程求反函数表达式：将原函数表达式中的$x$用$y$表示，再交换变量得到反函数。
3. 确定反函数的定义域：原函数的值域即为反函数的定义域。

破题关键点：

• 单调性分析：通过导数判断原函数在区间$[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$内单调递增。
• 反正弦函数的应用：正确应用$\arcsin$函数并处理系数。
• 定义域转换：原函数的值域$[-2, 2]$对应反函数的定义域。

步骤1：验证原函数的单调性

原函数为$y = 2\sin 3x$，定义域为$x \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$。
计算导数：
$y' = 2 \cdot 3\cos 3x = 6\cos 3x$
当$x \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$时，$3x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$，此时$\cos 3x \geq 0$，故$y' \geq 0$，说明原函数在该区间内严格单调递增，存在反函数。

步骤2：解方程求$x$的表达式

原方程为$y = 2\sin 3x$，变形得：
$\sin 3x = \frac{y}{2}$
对两边取反正弦函数：
$3x = \arcsin \left( \frac{y}{2} \right)$
解得：
$x = \frac{1}{3} \arcsin \left( \frac{y}{2} \right)$

步骤3：确定反函数的定义域

原函数的值域为：
当$x \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$时，$3x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$，$\sin 3x \in [-1, 1]$，故$y = 2\sin 3x \in [-2, 2]$。
因此，反函数的定义域为$y \in [-2, 2]$，交换变量后反函数定义域为$x \in [-2, 2]$。

步骤4：写出反函数表达式

交换原函数的$x$和$y$，得到反函数：
$y = \frac{1}{3} \arcsin \left( \frac{x}{2} \right), \quad x \in [-2, 2]$