计算下列极限：(11) lim_(n to infty) (1+(1)/(2)+(1)/(4)+...+(1)/(2^n))；(12) lim_(n to infty) (1+2+3+...+(n-1))/(n^2)；(13) lim_(n to infty) ((n+1)(n+2)(n+3))/(5n^3)；(14) lim_(x to 1) ((1)/(1-x)-(3)/(1-x^3)).
计算下列极限： (11) $\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right)$； (12) $\lim_{n \to \infty} \frac{1+2+3+\cdots+(n-1)}{n^2}$； (13) $\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5n^3}$； (14) $\lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)$.
题目解答
答案
我们逐题分析并计算这些极限。
(11) $\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right)$
这是一个等比数列的前 $ n+1 $ 项和，首项为 $ a = 1 $，公比为 $ r = \frac{1}{2} $。
等比数列前 $ n+1 $ 项和公式为：
$S_{n+1} = a \cdot \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}$
代入数值：
$S_{n+1} = 1 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{\frac{1}{2}} = 2 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)$
当 $ n \to \infty $ 时，$\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} \to 0$，所以：
$\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right) = 2$
✅ 答案： $\boxed{2}$
(12) $\lim_{n \to \infty} \frac{1+2+3+\cdots+(n-1)}{n^2}$
分子是前 $ n-1 $ 个自然数的和，即：
$1 + 2 + \cdots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$
所以原式变为：
$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n-1)n}{2}}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n-1)n}{2n^2}$
化简：
$= \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - n}{2n^2} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2n}\right)$
当 $ n \to \infty $ 时，$\frac{1}{2n} \to 0$，所以：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1+2+3+\cdots+(n-1)}{n^2} = \frac{1}{2}$
✅ 答案： $\boxed{\frac{1}{2}}$
(13) $\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5n^3}$
我们先展开分子：
$(n+1)(n+2)(n+3)$
我们先算前两个括号：
$(n+1)(n+2) = n^2 + 3n + 2$
再乘以 $ (n+3) $：
$(n^2 + 3n + 2)(n + 3) = n^3 + 3n^2 + 2n + 3n^2 + 9n + 6 = n^3 + 6n^2 + 11n + 6$
所以原式为：
$\lim_{n \to \infty} \frac{n^3 + 6n^2 + 11n + 6}{5n^3}$
将每一项除以 $ n^3 $：
$= \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{6}{n} + \frac{11}{n^2} + \frac{6}{n^3}}{5}$
当 $ n \to \infty $ 时，所有分母含 $ n $ 的项都趋于 0，所以：
$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5n^3} = \frac{1}{5}$
✅ 答案： $\boxed{\frac{1}{5}}$
(14) $\lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)$
我们先观察这个极限，当 $ x \to 1 $ 时，$ 1 - x \to 0 $，$ 1 - x^3 \to 0 $，所以这是一个 $ \infty - \infty $ 型极限，需要通分或化简。
我们先用公式：
$1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2)$
所以：
$\frac{3}{1 - x^3} = \frac{3}{(1 - x)(1 + x + x^2)}$
原式变为：
$\frac{1}{1 - x} - \frac{3}{(1 - x)(1 + x + x^2)} = \frac{1}{1 - x} \left(1 - \frac{3}{1 + x + x^2}\right)$
接下来我们计算括号内的极限：
$\lim_{x \to 1} \left(1 - \frac{3}{1 + x + x^2}\right)$
当 $ x \to 1 $ 时，$ 1 + x + x^2 \to 1 + 1 + 1 = 3 $，所以：
$1 - \frac{3}{1 + x + x^2} \to 1 - \frac{3}{3} = 0$
所以整个极限是：
$\lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{1 - x} \cdot 0\right) = 0$
✅ 答案： $\boxed{0}$
总结答案：
- (11) $\boxed{2}$
- (12) $\boxed{\frac{1}{2}}$
- (13) $\boxed{\frac{1}{5}}$
- (14) $\boxed{0}$
解析
考查要点：
- 等比数列求和（第11题）：识别等比数列结构，应用求和公式求极限。
- 等差数列求和与分式化简（第12题）：利用等差数列求和公式，通过约简分式求极限。
- 多项式展开与最高次项比较（第13题）：展开分子多项式，比较分子分母最高次项系数。
- 分式通分与因式分解（第14题）：通过通分和因式分解化简表达式，消除不定型。
解题核心思路：
- 无限项和转化为等比数列求和公式，利用公比绝对值小于1的性质求极限。
- 分式极限通过分子分母最高次项系数比值简化。
- 多项式展开后保留最高次项，忽略低次项的影响。
- 因式分解消去分母中的趋近于零的因子，化简表达式。
第（11）题
等比数列求和
- 识别等比数列：首项 $a=1$，公比 $r=\frac{1}{2}$，项数为 $n+1$。
- 应用求和公式：
$S_{n+1} = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{2}} = 2\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)$ - 取极限：当 $n \to \infty$ 时，$\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} \to 0$，故极限为 $2$。
第（12）题
等差数列求和与分式化简
- 求分子和：前 $n-1$ 项和为 $\frac{(n-1)n}{2}$。
- 代入分式：
$\frac{\frac{(n-1)n}{2}}{n^2} = \frac{n^2 - n}{2n^2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2n}$ - 取极限：当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{2n} \to 0$，故极限为 $\frac{1}{2}$。
第（13）题
多项式展开与最高次项比较
- 展开分子：
$(n+1)(n+2)(n+3) = n^3 + 6n^2 + 11n + 6$ - 分式化简：
$\frac{n^3 + 6n^2 + 11n + 6}{5n^3} = \frac{1}{5} + \frac{6}{5n} + \frac{11}{5n^2} + \frac{6}{5n^3}$ - 取极限：当 $n \to \infty$ 时，后三项趋近于 $0$，故极限为 $\frac{1}{5}$。
第（14）题
分式通分与因式分解
- 因式分解：$1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2)$。
- 通分：
$\frac{1}{1-x} - \frac{3}{(1-x)(1+x+x^2)} = \frac{1+x+x^2 - 3}{(1-x)(1+x+x^2)}$ - 化简分子：
$1 + x + x^2 - 3 = x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)$ - 约分：
$\frac{(x-1)(x+2)}{(1-x)(1+x+x^2)} = \frac{-(x+2)}{1+x+x^2}$ - 取极限：当 $x \to 1$ 时，分子为 $-3$，分母为 $3$，故极限为 $0$。