[题目]证明:当 gt 1 时, ^x-1gt dfrac (1)(2)(x)^2+dfrac (1)(2)

本题主要考察利用导数研究函数单调性来证明不等式，核心思路是构造辅助函数，通过导数判断函数单调性，结合端点值证明函数恒正，进而得到不等式结论，具体步骤如下：

步骤1：构造辅助函数

要证明当$x>1$时，$e^{x-1}>\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$，等价于证明$e^{x-1}-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}>0$对$x>1$恒成立。
构造函数：
$g(x)=e^{x-1}-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}\quad (x>1)$

步骤2：求$g(x)$的导数并分析其单调性

对$g(x)$求导：
$g'(x)=e^{x-1}-x$
为判断$g'(x)$的符号，再构造$h(x)=e^{x-1}-x$，求$h(x)$的导数：
$h'(x)=e^{x-1}-1$

当$x>1$时，$x-1>0$，故$e^{x-1}>e^0=1$，因此$h'(x)=e^{x-1}-1>0$。
这说明$h(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增，且$h(1)=e^{0}-1=0$，故对$x>1$，有$h(x)>h(1)=0$，即：
$g'(x)=h(x)>0$

步骤3：判断$g(x)$的单调性并证恒正

由于$g'(x)>0$在$(1,+\infty)$上恒成立，故$g(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增。
又$g(1)=e^{0}-\frac{1}{2}\times1^2-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$，因此对$x>1$，有：
$g(x)>g(1)=0$

步骤4：得出结论

$g(x)=e^{x-1}-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}>0$，即：
$e^{x-1}>\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$