设甲乙车间生产同一种产品，甲车间生产的产品的合格率为90%，合格品中一等品占50%；乙车间生产的产品的合格率为95%，合格品中一等品占60%。甲车间和乙车间生产的产品分别占全厂生产的产品的70%和30%，现从该厂生产的产品中随机抽取一件，发现是一等品，求该产品是甲车间生产的概率.

考查要点：本题主要考查条件概率和全概率公式的应用，需要结合贝叶斯定理解决实际问题。

解题核心思路：

1. 确定事件关系：已知抽取的产品是一等品，求该产品来自甲车间的概率，属于逆向条件概率问题。
2. 分解全概率：通过全概率公式计算“抽取一等品”的总概率，需分别考虑甲、乙车间的贡献。
3. 应用贝叶斯定理：将各部分概率代入公式，最终求出条件概率。

破题关键点：

• 正确拆分事件：一等品的概率需通过合格率和合格品中的一等品率两步计算。
• 区分车间权重：甲、乙车间占全厂比例不同，需分别乘以各自的权重。

步骤1：定义事件与已知条件

• 设事件$A$为“产品来自甲车间”，$\bar{A}$为“产品来自乙车间”。
• 事件$B$为“产品是一等品”。
• 已知：
  • $P(A) = 0.7$，$P(\bar{A}) = 0.3$
  • 甲车间合格率$P(\text{合格}|A) = 0.9$，合格品中一等品占比$P(B|\text{合格},A) = 0.5$
  • 乙车间合格率$P(\text{合格}|\bar{A}) = 0.95$，合格品中一等品占比$P(B|\text{合格},\bar{A}) = 0.6$

步骤2：计算各车间的一等品概率

• 甲车间一等品概率：
  $P(B|A) = P(\text{合格}|A) \cdot P(B|\text{合格},A) = 0.9 \times 0.5 = 0.45$
• 乙车间一等品概率：
  $P(B|\bar{A}) = P(\text{合格}|\bar{A}) \cdot P(B|\text{合格},\bar{A}) = 0.95 \times 0.6 = 0.57$

步骤3：计算全概率$P(B)$
通过全概率公式：
$P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\bar{A}) \cdot P(B|\bar{A}) = 0.7 \times 0.45 + 0.3 \times 0.57 = 0.315 + 0.171 = 0.486$

步骤4：应用贝叶斯定理求条件概率
$P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)} = \frac{0.7 \times 0.45}{0.486} = \frac{0.315}{0.486} = \frac{35}{54}$