1.已知向量组-|||-(0 (3 2 2 0 4-|||-1 0 3 1 -2 4-|||-A:a1= 2 ,a2= 1 ,a3= ; B:b1= 1 ,b2= ,_(3)= 1-|||-0 1-|||-3 2 1 2 1 3-|||-证明向量组B能由向量组A线性表示,但向量组A不能由向量组B线性表示.

本题主要考察向量组线性表示的判定方法，核心思路是通过矩阵的初等行变换分析矩阵的秩及增广矩阵的秩之间的关系。

步骤1：向量组B能由向量组A线性表示的判定

向量组B能由A线性表示等价于矩阵方程$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}_i$（$i=1,2,3$）均有解，或等价于$r(A)=r(A|\boldsymbol{B})$（$\boldsymbol{B}=(\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\boldsymbol{b}_3)$）。

• 构造矩阵$(A|\boldsymbol{B})$，对其进行初等行变换：
  变换后发现$r(A)=r(A|\boldsymbol{B})$，故B能由A线性表示。

步骤2：向量组A不能由向量组B线性表示的判定

向量组A不能由B线性表示等价于存在$\boldsymbol{a}_i$使$B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}_i$无解，或$r(B)

• 构造矩阵$(B|\boldsymbol{A})$，对其进行初等行变换：
  变换后发现$r(B)