若方程a_0x^n+a_1x^n-1+…+a_(n-1)x=0有一个正根x=x_0, 证明方程a_0nx^n-1+a_1(n-1)x^n-2+…+a_(n-1)=0必有一个小于x_0的正根。

考查要点：本题主要考查罗尔定理的应用，以及通过函数的根与导数根的关系来推导存在性问题。

解题核心思路：

1. 构造原方程对应的函数$f(x)$，并分析其在区间端点处的函数值。
2. 利用罗尔定理，证明在区间$(0, x_0)$内存在一点使得导数为零，从而得到导数方程的根。

破题关键点：

• 识别函数$f(x)$在$x=0$和$x=x_0$处均为零点，满足罗尔定理的条件。
• 导数方程的根对应原函数的极值点，因此必然存在介于两个零点之间的极值点。

步骤1：构造函数
设原方程对应的函数为：
$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x.$
根据题意，$f(0) = 0$（所有项含$x$因子），且$f(x_0) = 0$（$x_0$是正根）。

步骤2：验证罗尔定理条件

1. 连续性：多项式函数$f(x)$在闭区间$[0, x_0]$上连续。
2. 可导性：多项式函数在开区间$(0, x_0)$内可导。
3. 端点函数值相等：$f(0) = f(x_0) = 0$。

步骤3：应用罗尔定理
根据罗尔定理，存在一点$c \in (0, x_0)$，使得：
$f'(c) = 0.$
而$f'(x)$即为导数方程：
$a_0nx^{n-1} + a_1(n-1)x^{n-2} + \dots + a_{n-1} = 0.$
因此，导数方程在$(0, x_0)$内必有一个正根$c$，且$c < x_0$。