题目
设函数 f(x) 满足关系式 f ″ (x)+[f′(x)]2=x, 且 f′(0)=0, 则 () A. f(0) 是 f(x) 的极大值B. f(0) 是 f(x) 的极小值C. 点 (0,f(0)) 是曲线 y=f(x) 的拐点D. f(0) 不是 f(x) 的极值 , 点 (0,f(0)) 也不是曲线 y=f(x) 的拐点
设函数
A.
B.
C. 点
D.
题目解答
答案
由：
得：
将等式变形得：
于是有：
解析
步骤 1：确定 f(x) 的二阶导数
由题意知，函数 f(x) 满足关系式 f ″ (x)+[f′(x)]2=x。由于 f′(0)=0，可以推断出 f(x) 在其定义域内存在二阶连续导数，并且 f ″ (0)=0。
步骤 2：分析 f(x) 的二阶导数
将等式变形得：f ″ (x)=x−[f′(x)]2。由于等式右边是可导的，因此 f(x) 的二阶导数 f ″ (x) 也是可导的。
步骤 3：计算 f(x) 的三阶导数
由 f ″ (x)=x−[f′(x)]2，可以计算出 f(x) 的三阶导数 f ″ ′(x)=1−2[f′(x)]f ″ (x)。将 x=0 代入，得到 f ″ ′(0)=1≠0。
步骤 4：判断拐点
由于 f ″ (0)=0 且 f ″ ′(0)≠0，因此点 (0,f(0)) 是函数 f(x) 的拐点。
由题意知，函数 f(x) 满足关系式 f ″ (x)+[f′(x)]2=x。由于 f′(0)=0，可以推断出 f(x) 在其定义域内存在二阶连续导数，并且 f ″ (0)=0。
步骤 2：分析 f(x) 的二阶导数
将等式变形得：f ″ (x)=x−[f′(x)]2。由于等式右边是可导的，因此 f(x) 的二阶导数 f ″ (x) 也是可导的。
步骤 3：计算 f(x) 的三阶导数
由 f ″ (x)=x−[f′(x)]2，可以计算出 f(x) 的三阶导数 f ″ ′(x)=1−2[f′(x)]f ″ (x)。将 x=0 代入，得到 f ″ ′(0)=1≠0。
步骤 4：判断拐点
由于 f ″ (0)=0 且 f ″ ′(0)≠0，因此点 (0,f(0)) 是函数 f(x) 的拐点。