题目
证明序列傅里叶变换的下列性质： (1)x*(n)→X*(e^-jω) (2)x*(-n)→X*(e^jω) (3)Re[x(n)]→Xe(e^jω)
证明序列傅里叶变换的下列性质：
(1)x*(n)→X*(e^-jω)
(2)x*(-n)→X*(e^jω)
(3)Re[x(n)]→Xe(e^jω)
(1)x*(n)→X*(e^-jω)
(2)x*(-n)→X*(e^jω)
(3)Re[x(n)]→Xe(e^jω)
题目解答
答案
解法1：
解法2：
两式相减得，
③式左边的傅里叶反变换为
xr(n)-jxi(n)=x*(n)
所以
x*(n)→X*(e-jω)$解法1：
解法2：因为
DTFTEx*(-n)]=DTFT[xe(n)-x0(n)]
=DTFT[xe(n)]-DTFT[xo(n)]
=Re[X*(ejω)]-jIm[X(ejω)]=X*(ejω)$
=Xe(ejω)
解法2：
两式相减得，
③式左边的傅里叶反变换为
xr(n)-jxi(n)=x*(n)
所以
x*(n)→X*(e-jω)$解法1：
解法2：因为
DTFTEx*(-n)]=DTFT[xe(n)-x0(n)]
=DTFT[xe(n)]-DTFT[xo(n)]
=Re[X*(ejω)]-jIm[X(ejω)]=X*(ejω)$
=Xe(ejω)
解析
步骤 1：定义傅里叶变换
傅里叶变换定义为：
\[ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n} \]
步骤 2：证明性质 (1)
对于序列 \( x^*(n) \)，其傅里叶变换为：
\[ X^*(e^{-j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x^*(n) e^{j\omega n} \]
取共轭：
\[ X^*(e^{-j\omega}) = \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n} \right)^* = X^*(e^{-j\omega}) \]
步骤 3：证明性质 (2)
对于序列 \( x(-n) \)，其傅里叶变换为：
\[ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(-n) e^{-j\omega n} \]
令 \( m = -n \)，则：
\[ X(e^{j\omega}) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m) e^{j\omega m} = X^*(e^{j\omega}) \]
步骤 4：证明性质 (3)
对于序列 \( \text{Re}[x(n)] \)，其傅里叶变换为：
\[ X_e(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \text{Re}[x(n)] e^{-j\omega n} \]
由于 \( \text{Re}[x(n)] = \frac{1}{2} (x(n) + x^*(n)) \)，则：
\[ X_e(e^{j\omega}) = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n} + \sum_{n=-\infty}^{\infty} x^*(n) e^{-j\omega n} \right) = \frac{1}{2} (X(e^{j\omega}) + X^*(e^{-j\omega})) \]
傅里叶变换定义为：
\[ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n} \]
步骤 2：证明性质 (1)
对于序列 \( x^*(n) \)，其傅里叶变换为：
\[ X^*(e^{-j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x^*(n) e^{j\omega n} \]
取共轭：
\[ X^*(e^{-j\omega}) = \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n} \right)^* = X^*(e^{-j\omega}) \]
步骤 3：证明性质 (2)
对于序列 \( x(-n) \)，其傅里叶变换为：
\[ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(-n) e^{-j\omega n} \]
令 \( m = -n \)，则：
\[ X(e^{j\omega}) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m) e^{j\omega m} = X^*(e^{j\omega}) \]
步骤 4：证明性质 (3)
对于序列 \( \text{Re}[x(n)] \)，其傅里叶变换为：
\[ X_e(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \text{Re}[x(n)] e^{-j\omega n} \]
由于 \( \text{Re}[x(n)] = \frac{1}{2} (x(n) + x^*(n)) \)，则：
\[ X_e(e^{j\omega}) = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n} + \sum_{n=-\infty}^{\infty} x^*(n) e^{-j\omega n} \right) = \frac{1}{2} (X(e^{j\omega}) + X^*(e^{-j\omega})) \]