题目

5. (1.5分) 当x→∞时，xsinx的极限是（） A. 不存在 B. ∞ C. 1 D. 0

5. (1.5分) 当x→∞时，xsinx的极限是（）
A. 不存在
B. ∞
C. 1
D. 0

题目解答

答案

为了确定当 $ x \to \infty $ 时 $ x \sin x $ 的极限，我们需要分析函数的行为。让我们一步步来分析。 1. **理解 $ \sin x $ 的行为：** 函数 $ \sin x $ 是周期性的，其值在-1和1之间波动。当 $ x $ 趋向于无穷大时，$ \sin x $ 并不接近任何特定的值；它继续在-1和1之间无限波动。 2. **理解 $ x \sin x $ 的行为：** 当 $ x $ 趋向于无穷大时，$ x $ 本身变得非常大。由于 $ \sin x $ 在-1和1之间波动，乘积 $ x \sin x $ 将在 $ -x $ 和 $ x $ 之间波动。随着 $ x $ 变得更大，区间 $ [-x, x] $ 也变得 wider，这意味着 $ x \sin x $ 的值可以变得任意大或任意小，这取决于 $ \sin x $ 在那一刻的值。 3. **结论：** 由于 $ \sin x $ 在-1和1之间波动，且 $ x $ 趋向于无穷大，乘积 $ x \sin x $ 并不接近任何特定的值。它在正无穷和负无穷之间波动，没有极限。 因此，当 $ x \to \infty $ 时 $ x \sin x $ 的极限不存在。 正确答案是 $\boxed{A}$。

解析

考查要点：本题主要考查学生对函数极限概念的理解，特别是当变量趋向于无穷大时，涉及振荡函数与线性增长函数乘积的极限是否存在。

解题核心思路：

  1. 分析各部分函数的行为：明确$\sin x$在$x \to \infty$时的振荡特性，以及$x$本身趋向于无穷大的趋势。
  2. 结合乘积特性：通过$\sin x$的有界性和$x$的无界性，判断乘积$x \sin x$的整体趋势。
  3. 极限存在的条件：若函数值无法收敛到某个确定值或无穷远，则极限不存在。

破题关键点：

  • 振荡发散：$\sin x$的周期性导致$x \sin x$在正负区间无限振荡，无法稳定趋向任何方向。

步骤分析

  1. 分析$\sin x$的特性
    $\sin x$是周期为$2\pi$的有界函数，其值始终在$[-1, 1]$之间振荡，无论$x$多大，$\sin x$都不会趋向于某个固定值。

  2. 分析$x \sin x$的整体趋势

    • 当$\sin x = 1$时，$x \sin x = x \to +\infty$；
    • 当$\sin x = -1$时，$x \sin x = -x \to -\infty$；
    • 当$\sin x = 0$时，$x \sin x = 0$。
      因此，$x \sin x$的值会随着$x$的增大在$[-x, x]$之间无限振荡。

  3. 判断极限是否存在

    • 若极限存在，函数值应趋向某个确定值，但$x \sin x$在正负无穷间振荡，无法收敛。
    • 若极限为无穷大，函数值应单向趋向正无穷或负无穷，但$x \sin x$的符号交替变化，不符合条件。
    • 综上，极限不存在。