已知函数 f ( x ) = ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x - 2 ) ，则方程 f ' ( x ) = 0 存在几个实根？

考查要点：本题主要考查罗尔定理的应用及导数方程实根个数的判断。

解题核心思路：

1. 识别函数特性：原函数是三次多项式，导数为二次函数，最多有两个实根。
2. 应用罗尔定理：通过函数在相邻零点处的值相等，确定导数在区间内至少存在一个实根。
3. 结合二次方程性质：导数方程最多有两个实根，结合罗尔定理的结论，最终确定实根个数。

破题关键点：

• 罗尔定理的条件：函数在闭区间连续可导，且端点函数值相等。
• 二次方程的根数限制：二次方程最多有两个实根，与罗尔定理的结论结合即可锁定答案。

步骤1：分析函数零点
原函数 $f(x) = (x+1)(x-1)(x-2)$ 在 $x = -1, 1, 2$ 处取值为 $0$，即 $f(-1) = f(1) = f(2) = 0$。

步骤2：应用罗尔定理

• 区间 $[-1, 1]$：
  $f(x)$ 在 $[-1, 1]$ 上连续且可导，且 $f(-1) = f(1) = 0$，根据罗尔定理，存在 $\xi_1 \in (-1, 1)$，使得 $f'(\xi_1) = 0$。

• 区间 $[1, 2]$：
  $f(x)$ 在 $[1, 2]$ 上连续且可导，且 $f(1) = f(2) = 0$，同理存在 $\xi_2 \in (1, 2)$，使得 $f'(\xi_2) = 0$。

步骤3：分析导数方程的根数
$f'(x) = 3x^2 - 4x - 1$ 是二次方程，最多有两个实根。结合罗尔定理的结论，方程 $f'(x) = 0$ 恰好有两个实根。