用每毫米500条栅纹的光栅,观察钠光光谱(=590nm)衍射。问:(1)光线垂直入射;(2)光线以入射角30°入射时,最多能看到几条条纹?

本题主要考查光栅衍射的相关知识，解题的关键在于利用光栅方程来确定不同入射情况下能看到的最多条纹级数。

（1）光线垂直入射时

• 计算光栅常数：
  已知光栅每毫米有$500$条栅纹，光栅常数$a + b$是相邻两缝之间的距离，它等于$1$毫米除以栅纹的条数。
  因为$1mm = 1\times10^{-3}m$，所以$a + b=\dfrac{1}{500}mm=\dfrac{1\times10^{-3}}{500}m = 2.0\times10^{-6}m$。
• 确定最多条纹级数：
  光栅方程为$(a + b)\sin\varphi = k\lambda$，其中$\varphi$是衍射角，$k$是条纹级数，$\lambda$是光的波长。
  当衍射角$\varphi$最大，即$\varphi=\dfrac{\pi}{2}$时，$\sin\varphi = 1$，此时对应的条纹级数$k$最大。
  将$a + b = 2.0\times10^{-6}m$，$\lambda = 590nm = 590\times10^{-9}m$代入$k_{max}=\dfrac{a + b}{\lambda}$可得：
  $k_{max}=\dfrac{2.0\times10^{-6}}{590\times10^{-9}}\approx 3.39$。
  由于条纹级数$k$必须为整数，所以实际见到的最高级次为$k_{max}=3$。

（2）光线以入射角$30^{\circ}$入射时

• 推导此时的光栅方程：
  当光线以入射角$\theta$入射时，光栅方程变为$k=\dfrac{(a + b)(\sin\varphi + \sin\theta)}{\lambda}$。
• 确定最多条纹级数：
  同样，当衍射角$\varphi$最大，即$\varphi = 90^{\circ}$时，$\sin\varphi = 1$，此时对应的条纹级数$k$最大。
  将$a + b = 2.0\times10^{-6}m$，$\theta = 30^{\circ}$，$\lambda = 590\times10^{-9}m$代入$k_{max}=\dfrac{(a + b)(\sin\varphi + \sin\theta)}{\lambda}$可得：
  $k_{max}=\dfrac{(a + b)(\sin90^{\circ} + \sin30^{\circ})}{\lambda}=\dfrac{2.0\times10^{-6}\times(1 + 0.5)}{590\times10^{-9}}\approx 5.1$。
  因为条纹级数$k$必须为整数，所以实际见到的最高级次为$k_{max}=5$。