题目

设数列 a_n = (1+(1)/(n))sin(npi)/(2)，则下列说法正确的是（ ）。A. 该数列极限是1B. 该数列极限是0C. 该数列极限不存在D. 该数列极限存在，但不确定其数值

设数列 $a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)\sin\frac{n\pi}{2}$，则下列说法正确的是（ ）。 A. 该数列极限是1 B. 该数列极限是0 C. 该数列极限不存在 D. 该数列极限存在，但不确定其数值

题目解答

答案

我们来分析数列 $ a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)\sin\frac{n\pi}{2} $ 的极限。 --- ### 第一步：分析数列的结构 数列由两个部分组成： - 第一部分是 $ 1 + \frac{1}{n} $，这是一个趋于 1 的数列，因为 $ \frac{1}{n} \to 0 $ 当 $ n \to \infty $。 - 第二部分是 $ \sin\frac{n\pi}{2} $，我们来分析它的取值。 --- ### 第二步：分析 $ \sin\frac{n\pi}{2} $ 的周期性 我们观察 $ \sin\frac{n\pi}{2} $ 的取值： - 当 $ n = 1 $，$ \frac{n\pi}{2} = \frac{\pi}{2} $，$ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $ - 当 $ n = 2 $，$ \frac{n\pi}{2} = \pi $，$ \sin\pi = 0 $ - 当 $ n = 3 $，$ \frac{n\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} $，$ \sin\frac{3\pi}{2} = -1 $ - 当 $ n = 4 $，$ \frac{n\pi}{2} = 2\pi $，$ \sin 2\pi = 0 $ - 当 $ n = 5 $，$ \frac{n\pi}{2} = \frac{5\pi}{2} $，$ \sin\frac{5\pi}{2} = 1 $ 我们可以看出，$ \sin\frac{n\pi}{2} $ 是一个周期为 4 的周期函数，取值为： $$ \sin\frac{n\pi}{2} = \begin{cases} 1 & n \equiv 1 \pmod{4} \\ 0 & n \equiv 2 \pmod{4} \\ -1 & n \equiv 3 \pmod{4} \\ 0 & n \equiv 0 \pmod{4} \end{cases} $$ --- ### 第三步：结合两部分分析 $ a_n $ 我们把 $ a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)\sin\frac{n\pi}{2} $ 按照周期分类： - 当 $ n \equiv 1 \pmod{4} $，$ a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)\cdot 1 \to 1 $ - 当 $ n \equiv 2 \pmod{4} $，$ a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)\cdot 0 = 0 $ - 当 $ n \equiv 3 \pmod{4} $，$ a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)\cdot (-1) \to -1 $ - 当 $ n \equiv 0 \pmod{4} $，$ a_n = 0 $ 所以，数列 $ a_n $ 的值在 $ -1, 0, 1 $ 之间来回振荡，没有趋于某个固定的值。 --- ### 第四步：结论 由于 $ a_n $ 在 $ -1, 0, 1 $ 之间来回振荡，没有收敛到一个固定的值，因此： > **数列极限不存在** --- ### 正确答案是： $$ \boxed{\text{C. 该数列极限不存在}} $$

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的存在性判断，特别是涉及周期性变化的数列极限分析。

解题核心思路：

  1. 分解数列结构：将数列拆分为两个部分，分析各自的变化趋势。
  2. 分析周期性：确定 $\sin\frac{n\pi}{2}$ 的周期性规律，明确其取值特点。
  3. 综合判断极限：结合两部分的特性，判断数列整体是否收敛到唯一极限值。

破题关键点：

  • 周期性分析：$\sin\frac{n\pi}{2}$ 的周期为4，取值为 $1, 0, -1, 0$ 循环。
  • 子数列极限差异：不同子数列（如 $n \equiv 1, 3 \pmod{4}$）的极限不同，导致整体极限不存在。

分解数列结构

数列 $a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)\sin\frac{n\pi}{2}$ 由两部分组成：

  1. 第一部分：$1 + \frac{1}{n}$，当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，故该部分趋近于 $1$。
  2. 第二部分：$\sin\frac{n\pi}{2}$，需分析其周期性。

分析 $\sin\frac{n\pi}{2}$ 的周期性

计算前几项发现：

  • $n=1$ 时，$\sin\frac{\pi}{2}=1$；
  • $n=2$ 时，$\sin\pi=0$；
  • $n=3$ 时，$\sin\frac{3\pi}{2}=-1$；
  • $n=4$ 时，$\sin2\pi=0$；
  • $n=5$ 时，$\sin\frac{5\pi}{2}=1$，与 $n=1$ 时相同。

因此，$\sin\frac{n\pi}{2}$ 的周期为4，取值规律为：
$\sin\frac{n\pi}{2} = \begin{cases} 1 & n \equiv 1 \pmod{4}, \\ 0 & n \equiv 2 \pmod{4}, \\ -1 & n \equiv 3 \pmod{4}, \\ 0 & n \equiv 0 \pmod{4}. \end{cases}$

结合两部分分析 $a_n$

根据 $\sin\frac{n\pi}{2}$ 的取值，分情况讨论：

  1. 当 $n \equiv 1 \pmod{4}$：
    $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right) \cdot 1 \to 1 \quad (n \to \infty).$
  2. 当 $n \equiv 2 \pmod{4}$ 或 $n \equiv 0 \pmod{4}$：
    $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right) \cdot 0 = 0.$
  3. 当 $n \equiv 3 \pmod{4}$：
    $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right) \cdot (-1) \to -1 \quad (n \to \infty).$

结论

数列 $a_n$ 的值在 $-1, 0, 1$ 之间振荡，不同子数列的极限分别为 $-1, 0, 1$，因此数列极限不存在。