求微分方程 dfrac (dy)(dx)=dfrac (y)(x) 的通解.

本题考察可分离变量的微分方程的求解方法，核心思路是通过分离变量变量、积分并化简得到通解。

步骤1：分离变量

原方程为 $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$，当 $y \neq 0$ 时，可将变量 $x$ 和 和 $y$ 分离到等式两侧：
$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$

步骤2：积分求解积分

对等式两端积分：
$\int \frac{1}{y}dy = \int \frac{1}{x}dx$
积分结果为：
$\ln|y| = \ln|x| + C_1 \quad (C_1 \text{为任意常数})$

步骤3：化简通解

利用对数性质 $e^{\ln|a|}=|a$，等式两端取指数：
$|y| = e^{C_1}|x|$
令 $(C = \pm e^{C_1}$（$C$ 为非零常数），则 $y = Cx$。注意 $y=0$ 也是方程的解，当 $C=0$ 时 $y=0$ 包含在 $y=Cx中，因此通解为 \(y=Cx$（$C$ 为任意常数）。

简化运算技巧

为方便运算，可直接写 $\ln y = \ln x + \ln C$（默认 $x,y>0$ 或\ x,y<0)），直接得 $y=Cx$。