一个盒子中放有10个信封，其中有7个信封装有面额为50元的纸币一张，另外3个信封装有面额为100元的纸币一张，从盒中抽取信封两次，每次随机地抽一个虑有放回和无放回两种抽取方式，分别计算下列事件的概率．（1）两次都抽到装100元人民币信封的概率；（2）两次抽到的信封装有相同面额人民币的概率；（3）抽到的两个信封中至少有一张100元人民币的概率．

考查要点：本题主要考查有放回与无放回抽样下的概率计算，涉及独立事件与不独立事件的区分，以及分类讨论和补集思想的应用。

解题核心思路：

1. 有放回抽样：每次抽取相互独立，概率直接相乘；
2. 无放回抽样：第二次抽取的概率依赖于第一次结果，需分步计算；
3. 分类讨论：如（2）中“相同面额”需拆分为“均为50元”和“均为100元”；
4. 补集思想：如（3）中“至少一个100元”可转化为“1 - 全部为50元”。

破题关键点：

• 明确两种抽样方式对概率的影响；
• 注意无放回时剩余样本数量的变化；
• 灵活选择直接计算或补集计算简化步骤。

（1）两次都抽到装100元人民币信封的概率

有放回抽样

• 第一次抽到100元的概率：$\frac{3}{10}$；
• 第二次独立抽到100元的概率：$\frac{3}{10}$；
• 总概率：$\frac{3}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{9}{100}$。

无放回抽样

• 第一次抽到100元的概率：$\frac{3}{10}$；
• 第二次抽到100元的概率（剩余2个100元和9个信封）：$\frac{2}{9}$；
• 总概率：$\frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{1}{15}$。

（2）两次抽到的信封装有相同面额人民币的概率

有放回抽样

• 均为50元的概率：$\frac{7}{10} \times \frac{7}{10} = \frac{49}{100}$；
• 均为100元的概率：$\frac{3}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{9}{100}$；
• 总概率：$\frac{49}{100} + \frac{9}{100} = \frac{29}{50}$。

无放回抽样

• 均为50元的概率：$\frac{7}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{42}{90}$；
• 均为100元的概率：$\frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90}$；
• 总概率：$\frac{42}{90} + \frac{6}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}$。

（3）抽到的两个信封中至少有一张100元人民币的概率

有放回抽样

• 两次均为50元的概率：$\frac{7}{10} \times \frac{7}{10} = \frac{49}{100}$；
• 至少一个100元的概率：$1 - \frac{49}{100} = \frac{51}{100}$。

无放回抽样

• 两次均为50元的概率：$\frac{7}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$；
• 至少一个100元的概率：$1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}$。