题目
11．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
11．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
题目解答
答案
【答案】
【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中
，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为
，
由于
，故
，
设内切圆半径为
，则：
，
解得：
，其体积：
.
故答案为：.
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
解析
步骤 1：确定圆锥的内切球
圆锥的内切球是指与圆锥的底面和侧面都相切的球。由于圆锥的底面半径为1，母线长为3，我们可以利用圆锥的轴截面来分析内切球的半径。
步骤 2：计算圆锥的高
圆锥的高可以通过勾股定理计算得出。设圆锥的高为h，则有：
$$h = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$
步骤 3：计算内切球的半径
设内切球的半径为r，球心为O，圆锥的顶点为A，底面圆心为B，底面半径为1。根据圆锥的轴截面，可以得到：
$$\frac{r}{1} = \frac{2\sqrt{2} - r}{2\sqrt{2}}$$
解这个方程，得到：
$$r = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
步骤 4：计算内切球的体积
内切球的体积V可以通过球的体积公式计算得出：
$$V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{2\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{3}\pi$$
圆锥的内切球是指与圆锥的底面和侧面都相切的球。由于圆锥的底面半径为1，母线长为3，我们可以利用圆锥的轴截面来分析内切球的半径。
步骤 2：计算圆锥的高
圆锥的高可以通过勾股定理计算得出。设圆锥的高为h，则有：
$$h = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$
步骤 3：计算内切球的半径
设内切球的半径为r，球心为O，圆锥的顶点为A，底面圆心为B，底面半径为1。根据圆锥的轴截面，可以得到：
$$\frac{r}{1} = \frac{2\sqrt{2} - r}{2\sqrt{2}}$$
解这个方程，得到：
$$r = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
步骤 4：计算内切球的体积
内切球的体积V可以通过球的体积公式计算得出：
$$V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{2\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{3}\pi$$