求曲线 ) (x)^2+(y)^2+(z)^2-3x=0 2x-3y+5z-4=0 .，在点（1,1,1）处的切线及法平面方程。

考查要点：本题主要考查空间曲线在某一点处的切线与法平面方程的求解方法，涉及曲面的法向量计算及向量叉积的应用。

解题核心思路：

1. 确定曲线的切线方向：曲线由两个曲面的交线构成，其切线方向向量为两曲面在该点的法向量的叉积。
2. 求切线方程：利用点向式方程，代入切线方向向量和已知点。
3. 求法平面方程：法平面的法向量即为切线方向向量，使用点法式方程。

破题关键点：

• 正确计算两个曲面的法向量：第一个曲面通过梯度计算，第二个曲面直接取方程系数。
• 准确计算叉积：确保向量叉积的计算无误，得到切线方向向量。

步骤1：求两个曲面的法向量

1. 第一个曲面 $x^2 + y^2 + z^2 - 3x = 0$ 的法向量：
   • 梯度为 $(2x - 3, 2y, 2z)$，代入点 $(1,1,1)$ 得 $\mathbf{n_1} = (-1, 2, 2)$。
2. 第二个曲面 $2x - 3y + 5z - 4 = 0$ 的法向量：
   • 直接取方程系数，$\mathbf{n_2} = (2, -3, 5)$。

步骤2：求切线方向向量

• 计算 $\mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2}$：
  $\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 5 \end{vmatrix} = (16, 9, -1)$
  切线方向向量为 $(16, 9, -1)$。

步骤3：求切线方程

• 以点 $(1,1,1)$ 和方向向量 $(16, 9, -1)$ 写对称式：
  $\frac{x-1}{16} = \frac{y-1}{9} = \frac{z-1}{-1}$

步骤4：求法平面方程

• 法平面的法向量为 $(16, 9, -1)$，代入点法式：
  $16(x-1) + 9(y-1) - (z-1) = 0 \implies 16x + 9y - z - 24 = 0$