__-|||-1.设 _(1)=[ 0,1] cap Q, 求在R内的E1,E1,E1

本题主要考察集合的基本概念以及有理数集在实数集中的稠密性。

题目分析

题目中${E}_{1}=[0,1] \cap \mathbb{Q}$，表示$[0,1]$区间内的所有有理数构成的集合，要求在$\mathbb{R}$内讨论${E}_{1}$相关内容（原题目表述可能存在笔误，根据常见考察点，应为求${E}_{1}$的闭包）。

关键知识点：有理数集的稠密性

有理数集$\mathbb{Q}$在实数集$\mathbb{R}$中是稠密的，即对任意实数$x \in \mathbb{R}$和任意$\varepsilon>0$，存在有理数$q \in \mathbb{Q}$使得$|x - q|<\varepsilon$。

推理过程

对于${E}_{1}=[0,1] \cap \mathbb{Q}$（$[0,1]$中的有理数集）：

1. ${E}_{1}$中的点都是内点吗？ 不是，因为任意有理数$q \in [0,1] \cap \mathbb{Q}$的任意邻域内都有无理数，故${E}_{1}$没有内点，内部为空集$\varnothing$。
2. ${E}_{1}$的闭包是什么？ 对任意$x \in [0,1]$，由稠密性，$x$的任意邻域内都有${E}_{1}$中的点，故$x$是${E}_{1}$的聚点；对$x \notin [0,1]$，存在$\varepsilon>0$使邻域$(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$与$[0,1]$无交集，故不是聚点。因此${E}_{1}$的闭包为$[0,1]$。