设随机变量 X 和 Y 满足 D(X+Y)=D(X-Y)，则下列结论正确的是( )A. X 和 Y 独立B. X 和 Y 不相关C. DY=0D. DXDY=0

本题考查随机变量的方差性质以及随机变量不相关的判定。解题的关键思路是利用方差的性质对已知条件$D(X + Y) = D(X - Y)$进行展开化简，然后根据随机变量不相关的定义来判断结论。

步骤一：根据方差的性质展开$D(X + Y)$和$D(X - Y)$

根据方差的性质$D(aX + bY)=a^{2}D(X)+b^{2}D(Y)+2abCov(X,Y)$（其中$Cov(X,Y)$为$X$与$Y$的协方差），可得：

• $D(X + Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$
• $D(X - Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$

步骤二：结合已知条件化简等式

已知$D(X + Y) = D(X - Y)$，将上述展开式代入可得：
$D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$

步骤三：求解协方差$Cov(X,Y)$

对$D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$进行化简，等式两边同时减去$D(X)$和$D(Y)$，得到：
$2Cov(X,Y)= - 2Cov(X,Y)$
移项可得：
$4Cov(X,Y)=0$
两边同时除以$4$，解得：
$Cov(X,Y)=0$

步骤四：根据协方差判断随机变量的相关性

根据随机变量不相关的定义：若$Cov(X,Y)=0$，则称$X$和$Y$不相关。
由于已求得$Cov(X,Y)=0$，所以$X$和$Y$不相关。

步骤五：分析其他选项

• 选项A：$X$和$Y$不相关不能推出$X$和$Y$独立，独立是比不相关更强的条件，所以A选项错误。
• 选项C：仅由$D(X + Y) = D(X - Y)$不能得出$D(Y)=0$，所以C选项错误。
• 选项D：同理，也不能得出$DXDY = 0$，所以D选项错误。