题目
证明:在(z)=cos (z+dfrac (1)(z)) 以z的各幂表出的洛朗展开式中的各系数为在(z)=cos (z+dfrac (1)(z)) 以z的各幂表出的洛朗展开式中的各系数为提示:令C为单位圆在(z)=cos (z+dfrac (1)(z)) 以z的各幂表出的洛朗展开式中的各系数为,在C上取积分变量在(z)=cos (z+dfrac (1)(z)) 以z的各幂表出的洛朗展开式中的各系数为,则在(z)=cos (z+dfrac (1)(z)) 以z的各幂表出的洛朗展开式中的各系数为
证明:
提示:令C为单位圆
,在C上取积分变量
,则
题目解答
答案
1. 利用洛朗级数的积分公式：
对于函数f(z)在圆环域内解析，其洛朗展开式的系数
，这里C为单位圆
。
2. 代入函数
：
则
。
3. 根据提示进行变量代换：
令
，当z在单位圆上时，
。
此时
。
4. 计算积分：
代入可得
。
又因为
，而
在
上的积分为0。
所以
，
。
综上，得证。
解析
步骤 1：洛朗级数的积分公式
对于函数$f(z)$在圆环域内解析，其洛朗展开式的系数${C}_{n}=\dfrac {1}{2\pi i}{\int }_{c}^{2}\dfrac {f(z)}{{z}^{n+1}}dz$，这里C为单位圆$T=|z|=1$。
步骤 2：代入函数$f(z)=\cos (z+\dfrac {1}{z})$
则${C}_{n}=\dfrac {1}{2\pi i}{\int }_{|z|=1}\dfrac {\cos (z+\dfrac {1}{z})}{{z}^{n+1}}dz$。
步骤 3：变量代换
令$z=e^{i\theta }$，那么$dz=i{e}^{i\theta }d\theta $，当$z$在单位圆上时，$\theta $从$0$变化到$2\pi $。此时$z+\dfrac {1}{z}={e}^{i\theta }+{e}^{-i\theta }=2\cos \theta $。
步骤 4：计算积分
代入可得${C}_{n}=\dfrac {1}{2\pi i}{\int }_{0}^{2\pi }\dfrac {\cos (2\cos \theta )}{{e}^{i(n+1)\theta }}i{e}^{i\theta }d\theta =\dfrac {1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\cos (2\cos \theta ){e}^{-in\theta }d\theta $。
又因为${e}^{-in\theta }=\cos (n\theta )-i\sin (n\theta )$，而$\cos (2\cos \theta )\sin (n\theta )$在$[0,2\pi ]$上的积分为$0$。
所以${C}_{n}=\dfrac {1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\cos (2\cos \theta )\cos (n\theta )d\theta $，$n=0,\pm 1$ ,...。
对于函数$f(z)$在圆环域内解析，其洛朗展开式的系数${C}_{n}=\dfrac {1}{2\pi i}{\int }_{c}^{2}\dfrac {f(z)}{{z}^{n+1}}dz$，这里C为单位圆$T=|z|=1$。
步骤 2：代入函数$f(z)=\cos (z+\dfrac {1}{z})$
则${C}_{n}=\dfrac {1}{2\pi i}{\int }_{|z|=1}\dfrac {\cos (z+\dfrac {1}{z})}{{z}^{n+1}}dz$。
步骤 3：变量代换
令$z=e^{i\theta }$，那么$dz=i{e}^{i\theta }d\theta $，当$z$在单位圆上时，$\theta $从$0$变化到$2\pi $。此时$z+\dfrac {1}{z}={e}^{i\theta }+{e}^{-i\theta }=2\cos \theta $。
步骤 4：计算积分
代入可得${C}_{n}=\dfrac {1}{2\pi i}{\int }_{0}^{2\pi }\dfrac {\cos (2\cos \theta )}{{e}^{i(n+1)\theta }}i{e}^{i\theta }d\theta =\dfrac {1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\cos (2\cos \theta ){e}^{-in\theta }d\theta $。
又因为${e}^{-in\theta }=\cos (n\theta )-i\sin (n\theta )$，而$\cos (2\cos \theta )\sin (n\theta )$在$[0,2\pi ]$上的积分为$0$。
所以${C}_{n}=\dfrac {1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\cos (2\cos \theta )\cos (n\theta )d\theta $，$n=0,\pm 1$ ,...。