专业课习题解析课程西安电子科技大学第一章信号与系统1-23设系统的初始状态为x(0)，激励为f(.)，各系统的全响应y(.)与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。(1) (t)=(e)^-1x(0)+(int )_(0)^tsin xf(x)dx-|||-(2) (t)=f(t)x(0)+(int )_(0)^tf(x)dx-|||-(3) (t)=sin [ x(0)t] +(int )_(0)^tf(x)dx-|||-(4) (k)=((0.5))^kx(0)+f(k)f(k-2)-|||-(5) (k)=kx(0)+sum _(i=0)^kf(i)

线性系统需同时满足可分解性、零输入线性及零状态线性。判断各系统是否为线性，需：

1. 分解全响应为零输入响应（仅由初始状态引起）和零状态响应（仅由输入引起）之和；
2. 验证零输入部分是否满足线性（齐次性和可加性）；
3. 验证零状态部分是否满足线性（齐次性和可加性）。

(1) $y(t)=e^{-t}x(0)+\int_{0}^{t}\sin x \cdot f(x)dx$

• 零输入响应：$y_x(t)=e^{-t}x(0)$，与$x(0)$成线性关系。
• 零状态响应：$y_f(t)=\int_{0}^{t}\sin x \cdot f(x)dx$，积分运算为线性。
• 结论：满足可分解性，且两部分均线性，系统线性。

(2) $y(t)=f(t)x(0)+\int_{0}^{t}f(x)dx$

• 零输入响应：当$f=0$时，$y_x(t)=0$（因$f(t)x(0)$需依赖输入）。
• 零状态响应：$y_f(t)=\int_{0}^{t}f(x)dx$，积分运算线性。
• 问题：原式中$f(t)x(0)$无法归入零输入或零状态，分解失效，系统非线性。

(3) $y(t)=\sin[x(0)t]+\int_{0}^{t}f(x)dx$

• 零输入响应：$y_x(t)=\sin[x(0)t]$，非线性（$\sin(a+b)\neq \sin a + \sin b$）。
• 零状态响应：$y_f(t)=\int_{0}^{t}f(x)dx$，线性。
• 结论：零输入部分非线性，系统非线性。

(4) $y(k)=0.5^{k}x(0)+f(k)f(k-2)$

• 零输入响应：$y_x(k)=0.5^{k}x(0)$，线性。
• 零状态响应：$y_f(k)=f(k)f(k-2)$，乘积运算非线性。
• 结论：零状态部分非线性，系统非线性。

(5) $y(k)=kx(0)+\sum_{j=0}^{k}f(j)$

• 零输入响应：$y_x(k)=kx(0)$，线性。
• 零状态响应：$y_f(k)=\sum_{j=0}^{k}f(j)$，求和运算线性。
• 结论：两部分均线性，系统线性。