12.求极限lim_(xto0)(x-xcos x)/(tan x-sin x).
题目解答
答案
将分子和分母分别展开为泰勒级数。
分子：$x - x \cos x = x(1 - \cos x) \sim x \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}$（当 $x \to 0$ 时）。
分母：$\tan x - \sin x \sim \frac{x^3}{2}$（当 $x \to 0$ 时）。
因此，
$\lim_{x \to 0} \frac{x - x \cos x}{\tan x - \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{\frac{x^3}{2}} = 1.$
或者，使用洛必达法则多次求导，最终同样得到极限为 1。
答案： $\boxed{1}$
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理$\frac{0}{0}$型不定式的能力。需要掌握泰勒展开或洛必达法则的应用。
解题核心思路：
当分子和分母在$x \to 0$时均趋近于0时，可考虑将分子和分母展开为泰勒级数，保留到相同阶数的项，直接比较最高次项的系数；或通过多次应用洛必达法则，直到分式不再为不定式为止。
破题关键点：
- 泰勒展开法：将$\cos x$和$\tan x$展开到$x^3$阶，简化分子和分母的表达式。
- 洛必达法则：需连续应用三次，每次求导后仍需判断是否仍为$\frac{0}{0}$型。
方法一：泰勒展开法
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分子展开：
$x - x\cos x = x(1 - \cos x)$
$\cos x$的泰勒展开为$1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots$，因此：
$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2} \quad (x \to 0)$
代入得：
$x(1 - \cos x) \sim x \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}$ -
分母展开：
$\tan x$的泰勒展开为$x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots$，$\sin x$的展开为$x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$，因此：
$\tan x - \sin x \sim \left(x + \frac{x^3}{3}\right) - \left(x - \frac{x^3}{6}\right) = \frac{x^3}{2}$ -
求极限：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{\frac{x^3}{2}} = 1$
方法二：洛必达法则
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第一次求导：
分子导数：$1 - \cos x + x \sin x$
分母导数：$\sec^2 x - \cos x$
代入$x=0$仍为$\frac{0}{0}$型。 -
第二次求导：
分子导数：$2 \sin x + x \cos x$
分母导数：$2 \sec^2 x \tan x + \sin x$
代入$x=0$仍为$\frac{0}{0}$型。 -
第三次求导：
分子导数：$3 \cos x - x \sin x$
分母导数：$2(2 \sec^2 x \tan^2 x + \sec^4 x) + \cos x$
代入$x=0$得：
$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{3}{3} = 1$