题目
1.设A是一个n阶正定矩阵，而alpha=(x_(1),x_(2),...,x_(n)），beta=(y_(1),y_(2),...,y_(n)).在R^n中定义内积为(alpha,beta)=alpha Abeta^T.1)证明：在这个定义之下，R^n成一欧氏空间；2)求单位向量varepsilon_(1)=(1,0,...,0)，varepsilon_(2)=(0,1,...,0)，...,varepsilon_(n)=(0,0,...,1)的度量矩阵；3)具体写出这个空间中的柯西-布尼亚科夫斯基不等式.
1.设A是一个n阶正定矩阵，而
$\alpha=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}），\beta=(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n})$.在R^{n}中定义内积为$(\alpha,\beta)=\alpha A\beta^{T}$.
1)证明：在这个定义之下，R^{n}成一欧氏空间；
2)求单位向量$\varepsilon_{1}=(1,0,\cdots,0)，\varepsilon_{2}=(0,1,\cdots,0)，\cdots,\varepsilon_{n}=(0,0,\cdots,1)$的度量矩阵；
3)具体写出这个空间中的柯西-布尼亚科夫斯基不等式.
题目解答
答案
1. **证明欧氏空间**
定义内积 $(\alpha, \beta) = \alpha A \beta^T$，其中 $A$ 正定。
- **对称性**：$(\alpha, \beta) = (\beta, \alpha)$，因 $A$ 对称。
- **线性性**：满足 $(k\alpha, \beta) = k(\alpha, \beta)$ 和 $(\alpha + \beta, \gamma) = (\alpha, \gamma) + (\beta, \gamma)$。
- **正定性**：$(\alpha, \alpha) \geq 0$，且仅当 $\alpha = 0$ 时为0。
2. **度量矩阵**
单位向量 $\varepsilon_i$ 的度量矩阵 $B$ 满足 $b_{ij} = (\varepsilon_i, \varepsilon_j) = a_{ij}$，故 $B = A$。
3. **柯西-布尼亚科夫斯基不等式**
$|(\alpha, \beta)| \leq \sqrt{(\alpha, \alpha)} \sqrt{(\beta, \beta)}$，代入得：
\[
\boxed{\left| \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i y_j \right| \leq \sqrt{\sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i x_j} \sqrt{\sum_{i,j=1}^n a_{ij} y_i y_j}}
\]
解析
步骤 1：证明R^{n}成一欧氏空间
- **对称性**：$(\alpha, \beta) = \alpha A \beta^T = (\beta A \alpha^T)^T = (\beta, \alpha)$，因为 $A$ 是对称矩阵。
- **线性性**：$(k\alpha, \beta) = k(\alpha, \beta)$，$(\alpha + \beta, \gamma) = (\alpha, \gamma) + (\beta, \gamma)$，因为矩阵乘法满足分配律。
- **正定性**：$(\alpha, \alpha) = \alpha A \alpha^T \geq 0$，且仅当 $\alpha = 0$ 时为0，因为 $A$ 是正定矩阵。
步骤 2：求单位向量的度量矩阵
- 单位向量 $\varepsilon_i$ 的度量矩阵 $B$ 满足 $b_{ij} = (\varepsilon_i, \varepsilon_j) = \varepsilon_i A \varepsilon_j^T = a_{ij}$，故 $B = A$。
步骤 3：写出柯西-布尼亚科夫斯基不等式
- 柯西-布尼亚科夫斯基不等式为 $|(\alpha, \beta)| \leq \sqrt{(\alpha, \alpha)} \sqrt{(\beta, \beta)}$，代入得：\[ \left| \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i y_j \right| \leq \sqrt{\sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i x_j} \sqrt{\sum_{i,j=1}^n a_{ij} y_i y_j} \]
- **对称性**：$(\alpha, \beta) = \alpha A \beta^T = (\beta A \alpha^T)^T = (\beta, \alpha)$，因为 $A$ 是对称矩阵。
- **线性性**：$(k\alpha, \beta) = k(\alpha, \beta)$，$(\alpha + \beta, \gamma) = (\alpha, \gamma) + (\beta, \gamma)$，因为矩阵乘法满足分配律。
- **正定性**：$(\alpha, \alpha) = \alpha A \alpha^T \geq 0$，且仅当 $\alpha = 0$ 时为0，因为 $A$ 是正定矩阵。
步骤 2：求单位向量的度量矩阵
- 单位向量 $\varepsilon_i$ 的度量矩阵 $B$ 满足 $b_{ij} = (\varepsilon_i, \varepsilon_j) = \varepsilon_i A \varepsilon_j^T = a_{ij}$，故 $B = A$。
步骤 3：写出柯西-布尼亚科夫斯基不等式
- 柯西-布尼亚科夫斯基不等式为 $|(\alpha, \beta)| \leq \sqrt{(\alpha, \alpha)} \sqrt{(\beta, \beta)}$，代入得：\[ \left| \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i y_j \right| \leq \sqrt{\sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i x_j} \sqrt{\sum_{i,j=1}^n a_{ij} y_i y_j} \]