问f(z)=x+2yi是否可导？

考查要点：本题主要考查复变函数的可导性条件，即柯西-黎曼方程的应用。

解题核心思路：
将函数$f(z)=x+2yz$分解为实部$u(x,y)$和虚部$v(x,y)$，代入柯西-黎曼方程，验证是否在复平面内存在满足条件的点。若仅在孤立点满足，则函数不可导。

破题关键点：

1. 正确展开函数表达式，将$yz$用$y(x+iy)$替换；
2. 分离实部和虚部，得到$u$和$v$的表达式；
3. 计算偏导数，代入柯西-黎曼方程，分析解的存在性。

将函数$f(z)=x+2yz$展开：
设$z=x+iy$，则$yz=y(x+iy)=xy+iy^2$，代入原函数得：
$f(z)=x+2(yz)=x+2(xy+iy^2)=x+2xy+i2y^2.$
分离实部和虚部：
$u(x,y)=x+2xy, \quad v(x,y)=2y^2.$

柯西-黎曼方程要求：
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.$

计算偏导数：

1. $\frac{\partial u}{\partial x} = 1 + 2y$，$\frac{\partial v}{\partial y} = 4y$；
   代入第一个方程得：
   $1 + 2y = 4y \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1}{2}.$

2. $\frac{\partial u}{\partial y} = 2x$，$\frac{\partial v}{\partial x} = 0$，故$-\frac{\partial v}{\partial x}=0$；
   代入第二个方程得：
   $2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0.$

结论：
柯西-黎曼方程仅在点$(0, \frac{1}{2})$处成立，但该点周围不满足条件，因此$f(z)$在复平面内不可导。