题目

6.一加法器同时收到20个噪声电压 _(k)(k=1,2,... ,20), 设它们是相互独立-|||-的随机变量,且都在区间(0,10)上服从均匀分布,记 =sum _(k=1)^20(V)_(k), 利用-|||-中心极限定理求 vgt 105 的近似值.已知 (0.387)=0.652.

题目解答

答案

解析

本题考查中心极限定理的应用。解题思路如下：

  1. 首先，根据均匀分布的性质求出每个噪声电压$V_{k}$的期望$E(V_{k})$和方差$D(V_{k})$。
  2. 然后，由于$V_{k}(k = 1,2,\cdots,20)$相互独立，根据期望和方差的性质求出$V=\sum_{k = 1}^{20}V_{k}$的期望$E(V)$和方差$D(V)$。
  3. 最后，利用中心极限定理，将$V$标准化，再通过标准正态分布表来计算$P\{V\gt 105\}$的近似值。

具体计算过程

  1. 求$V_{k}$的期望和方差：
    已知$V_{k}$在区间$(0,10)$上服从均匀分布，对于均匀分布$U(a,b)$，其期望$E(X)=\frac{a + b}{2}$，方差$D(X)=\frac{(b - a)^{2}}{12}$。
    所以$E(V_{k})=\frac{0 + 10}{2}=5$，$D(V_{k})=\frac{(10 - 0)^{2}}{12}=\frac{100}{12}$。
  2. 求$V$的期望和方差：
    因为$V=\sum_{k = 1}^{20}V_{k}$，且$V_{k}$相互独立，根据期望和方差的性质：若$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立，则$E(\sum_{i = 1}^{n}X_{i})=\sum_{i = 1}^{n}E(X_{i})$，$D(\sum_{i = 1}^{n}X_{i})=\sum_{i = 1}^{n}D(X_{i})$。
    所以$E(V)=E(\sum_{k = 1}^{20}V_{k})=\sum_{k = 1}^{20}E(V_{k})=20\times5 = 100$，$D(V)=D(\sum_{k = 1}^{20}V_{k})=\sum_{k = 1}^{20}D(V_{k})=20\times\frac{100}{12}=\frac{2000}{12}=\frac{500}{3}$。
  3. 利用中心极限定理计算概率：
    由中心极限定理可知，当$n$充分大时（本题$n = 20$），$\frac{V - E(V)}{\sqrt{D(V)}}$近似服从标准正态分布$N(0,1)$。
    则$P\{V\gt 105\}=1 - P\{V\leqslant 105\}$，将$V$标准化可得：
    $P\{V\leqslant 105\}=P\left\{\frac{V - 100}{\sqrt{\frac{500}{3}}}\leqslant\frac{105 - 100}{\sqrt{\frac{500}{3}}}\right\}$
    $\frac{105 - 100}{\sqrt{\frac{500}{3}}}=\frac{5}{\sqrt{\frac{500}{3}}}=\frac{5}{\frac{10\sqrt{5}}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}\approx0.387$
    所以$P\{V\leqslant 105\}\approx\varPhi(0.387)$，其中$\varPhi(x)$是标准正态分布的分布函数。
    已知$\varPhi(0.387)=0.652$，则$P\{V\gt 105\}=1 - P\{V\leqslant 105\}\approx1 - 0.652 = 0.348$。