1.求方程 dfrac (dy)(dx)=x+(y)^2 通过点(0,0)的第三次近似解.

考查要点：本题主要考查逐次逼近法（Picard迭代法）的应用，用于求解微分方程的近似解。需要掌握如何通过迭代构造近似解序列，并逐步逼近真实解。

解题核心思路：

1. 初始猜测：从初始条件出发，选择最简单的函数作为初始近似解（通常为常数函数）。
2. 迭代公式：将微分方程转化为积分方程，代入前一次的近似解，计算出下一次的近似解。
3. 逐次逼近：通过多次迭代，逐步提高近似解的精度，直到达到所需的近似次数（本题为第三次）。

破题关键点：

• 正确展开平方项：在每次迭代中，需将前一次的近似解平方后展开，注意多项式的乘法运算。
• 准确积分：对展开后的多项式逐项积分，确保系数计算无误。

1. 初始近似解

根据初始条件 $y(0)=0$，选择初始近似解为：
$\varphi_0(x) = 0$

2. 第一次迭代（φ₁(x)）

将 $\varphi_0(x)=0$ 代入积分方程：
$\varphi_1(x) = \int_0^x \left[ t + \varphi_0(t)^2 \right] dt = \int_0^x t \, dt = \frac{1}{2}x^2$

3. 第二次迭代（φ₂(x)）

将 $\varphi_1(x)=\frac{1}{2}x^2$ 代入积分方程：
$\varphi_2(x) = \int_0^x \left[ t + \left( \frac{1}{2}t^2 \right)^2 \right] dt = \int_0^x \left( t + \frac{1}{4}t^4 \right) dt = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{20}x^5$

4. 第三次迭代（φ₃(x)）

将 $\varphi_2(x)=\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{20}x^5$ 代入积分方程：

1. 展开平方项：
   $\left( \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{20}x^5 \right)^2 = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{20}x^7 + \frac{1}{400}x^{10}$
2. 积分计算：
   $\varphi_3(x) = \int_0^x \left( t + \frac{1}{4}t^4 + \frac{1}{20}t^7 + \frac{1}{400}t^{10} \right) dt$
   逐项积分得：
   $\varphi_3(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{20}x^5 + \frac{1}{160}x^8 + \frac{1}{4400}x^{11}$