练习 （2013， 2,_(3) ）设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C且B可逆，则 (A)矩阵C的行向量与矩阵A.的行向量等价. (B.)矩阵C的列向量与矩阵A的列向量等价. (C)矩阵C.的行向量与矩阵B的行向量等价. (D.)矩阵C的列向量与矩阵B的列向量等价.

考查要点：本题主要考查矩阵乘法下向量组的等价关系，以及可逆矩阵在等价关系中的作用。

解题核心思路：

1. 矩阵等价的本质：两个矩阵的列（或行）向量等价，当且仅当它们可以互相线性表示。
2. 利用可逆矩阵的性质：若 $B$ 可逆，则 $B$ 的列（行）向量组线性无关，且存在逆矩阵 $B^{-1}$，可建立反向线性组合关系。
3. 关键推导：由 $AB = C$ 推导出 $A = CB^{-1}$，从而分析列向量间的相互表示关系。

破题关键点：

• 列向量关系：$C$ 的列向量由 $A$ 的列向量线性组合而成，反之亦然（通过 $B^{-1}$）。
• 行向量关系：需通过转置分析，但无法直接得出等价结论。

列向量等价性分析

1. 正向表示：由 $AB = C$，$C$ 的第 $j$ 列为 $A \cdot B$ 的第 $j$ 列，即 $C$ 的列向量是 $A$ 的列向量的线性组合。
2. 反向表示：由 $A = CB^{-1}$，$A$ 的第 $k$ 列为 $C \cdot B^{-1}$ 的第 $k$ 列，即 $A$ 的列向量是 $C$ 的列向量的线性组合。
   结论：$C$ 的列向量与 $A$ 的列向量等价，对应选项 B。

行向量等价性分析

1. 转置关系：对 $AB = C$ 转置得 $B^T A^T = C^T$，即 $A^T = (C^T)(B^T)^{-1}$。
2. 行向量表示：$A$ 的行向量（即 $A^T$ 的列向量）可由 $C$ 的行向量（即 $C^T$ 的列向量）线性组合，但无法反向推导。
   结论：行向量不等价，排除选项 A 和 C。

排除其他选项

• 选项 D：$C$ 的列向量由 $A$ 的列向量组合而成，与 $B$ 的列向量无直接等价关系，排除。