计算极限lim _(xarrow 0)dfrac ({x)^2sin 2x}(x-{int )_(0)^x}(e)^(t^2)dt.

步骤 1：利用等价无穷小替换
当$x\rightarrow 0$时，$\sin 2x\sim 2x$，因此原极限可以替换为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}\cdot 2x}{x-{\int }_{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt}$。
步骤 2：简化表达式
将$\sin 2x$替换为$2x$后，原极限变为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2{x}^{3}}{x-{\int }_{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt}$。
步骤 3：应用洛必达法则
由于分子和分母在$x\rightarrow 0$时都趋于0，因此可以应用洛必达法则，即对分子和分母分别求导，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {(2{x}^{3})'}{(x-{\int }_{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt)'}$。
步骤 4：求导并简化
分子的导数为$6{x}^{2}$，分母的导数为$1-{e}^{{x}^{2}}$，因此原极限变为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {6{x}^{2}}{1-{e}^{{x}^{2}}}$。
步骤 5：再次应用等价无穷小替换
当$x\rightarrow 0$时，${e}^{{x}^{2}}-1\sim {x}^{2}$，因此原极限可以替换为$-\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {6{x}^{2}}{{x}^{2}}$。
步骤 6：计算最终结果
将${e}^{{x}^{2}}-1$替换为${x}^{2}$后，原极限变为$-\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {6{x}^{2}}{{x}^{2}}=-6$。