题目
设 Ax = b 是非齐次线性方程组，beta_1, beta_2 是其任意两个解，则下列结论错误的是()。A. beta_1 + beta_2 是 Ax = 0 的一个解B. (beta_1 + beta_2)/(2) 是 Ax = b 的一个解C. beta_1 - beta_2 是 Ax = 0 的一个解D. 2beta_1 - beta_2 是 Ax = b 的一个解
设 $Ax = b$ 是非齐次线性方程组，$\beta_1, \beta_2$ 是其任意两个解，则下列结论错误的是()。
A. $\beta_1 + \beta_2$ 是 $Ax = 0$ 的一个解
B. $\frac{\beta_1 + \beta_2}{2}$ 是 $Ax = b$ 的一个解
C. $\beta_1 - \beta_2$ 是 $Ax = 0$ 的一个解
D. $2\beta_1 - \beta_2$ 是 $Ax = b$ 的一个解
题目解答
答案
A. $\beta_1 + \beta_2$ 是 $Ax = 0$ 的一个解
解析
步骤 1：验证选项A
设 $A\beta_1 = b$，$A\beta_2 = b$，则 $A(\beta_1 + \beta_2) = A\beta_1 + A\beta_2 = b + b = 2b \neq 0$，因此 $\beta_1 + \beta_2$ 不是 $Ax = 0$ 的一个解。
步骤 2：验证选项B
$A\left(\frac{\beta_1 + \beta_2}{2}\right) = \frac{1}{2}A\beta_1 + \frac{1}{2}A\beta_2 = \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}b = b$，因此 $\frac{\beta_1 + \beta_2}{2}$ 是 $Ax = b$ 的一个解。
步骤 3：验证选项C
$A(\beta_1 - \beta_2) = A\beta_1 - A\beta_2 = b - b = 0$，因此 $\beta_1 - \beta_2$ 是 $Ax = 0$ 的一个解。
步骤 4：验证选项D
$A(2\beta_1 - \beta_2) = 2A\beta_1 - A\beta_2 = 2b - b = b$，因此 $2\beta_1 - \beta_2$ 是 $Ax = b$ 的一个解。
设 $A\beta_1 = b$，$A\beta_2 = b$，则 $A(\beta_1 + \beta_2) = A\beta_1 + A\beta_2 = b + b = 2b \neq 0$，因此 $\beta_1 + \beta_2$ 不是 $Ax = 0$ 的一个解。
步骤 2：验证选项B
$A\left(\frac{\beta_1 + \beta_2}{2}\right) = \frac{1}{2}A\beta_1 + \frac{1}{2}A\beta_2 = \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}b = b$，因此 $\frac{\beta_1 + \beta_2}{2}$ 是 $Ax = b$ 的一个解。
步骤 3：验证选项C
$A(\beta_1 - \beta_2) = A\beta_1 - A\beta_2 = b - b = 0$，因此 $\beta_1 - \beta_2$ 是 $Ax = 0$ 的一个解。
步骤 4：验证选项D
$A(2\beta_1 - \beta_2) = 2A\beta_1 - A\beta_2 = 2b - b = b$，因此 $2\beta_1 - \beta_2$ 是 $Ax = b$ 的一个解。