四、(本题12分)设函数 y=f(x) 的二阶可导,且 '(x)gt 0 (0)=0, '(0)=0, 求-|||-lim _(xarrow 0)dfrac ({x)^3f(u)}(f(x){sin )^3u} 其中u是曲线 y=f(x) 上点p(x,f(x))处的切线在x轴上的截距.

题目考察知识

本题主要考察以下知识点：

1. 曲线切线方程与截距计算：通过曲线在某点的切线方程求其在x轴上的截距u。
2. 泰勒公式（或等价无穷小）：利用二阶泰勒展开或等价无穷小替换处理函数f(x)及其导数的极限问题。
3. 洛必达法则或极限运算：计算复杂分式的极限。

解题思路

步骤1：求切线在x轴上的截距u

曲线$y=f(x)$在点$P(x,f(x))$处的切线方程为：
$Y - f(x) = f'(x)(X - x)$
令$Y=0$（求x轴截距），解得：
$X = x - \frac{f(x)}{f'(x)}$
故$u = x - \frac{f(x)}{f'(x)}$。

步骤2：分析$u$的等价无穷小（$x \to 0$时）

当$x \to 0$时，$f(x) \sim f'(0)x + \frac{1}{2}f''(0)x^2$（二阶泰勒展开，因(f'(0)=0)），$f'(x) \sim f'(0) + f''(0)x = f''(0)x$（一阶导数近似）。
代入$u$：
$u = x - \frac{\frac{1}{2}}f''(0)x^2}{f''(0)x} = x - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}x$
即$u \sim \frac{1}{2}x$（$x \to 0$时）。

步骤3：化简极限表达式

待求极限为：
$\lim_{x \to 0} \frac{x^3f(u)}{f(x)\sin^3u}$

• 分母中$\sin^3u \sim u^3 = \left(\frac{1}{2}x\right)^3 = \frac{1}{8}x^3$（$x \to 0$时$\sin u \sim u$）。
• 分子中$f(u) \sim \frac{1}{2}f''(0)u^2 = \frac{1}{2}f''(0)\left(\frac{1}{2}x\right)^2 = \frac{1}{8}f''(0)x^2$。
• 分母中$f(x) \sim \frac{1}{2}f''(0)x^2$。

步骤4：代入化简求极限

$\text{原式} \sim \lim_{x \to 0} \frac{x^3 \cdot \frac{1}{8}f''(0)x^2}{\frac{1}{2}f''(0)x^2 \cdot \frac{1}{8}x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{8}f''(0)x^5}{\frac{1}{16}f''(0)x^5} = 2$