int dfrac ({x)^2+1}({(x+1))^2(x-1)}dx；

考查要点：本题主要考查有理函数的积分方法，特别是部分分式分解的应用，以及如何通过代数变形简化积分过程。

解题核心思路：

1. 部分分式分解：将被积函数拆分为更简单的分式之和，便于逐项积分。
2. 分子变形技巧：通过分子的代数变形，将复杂分式转化为易积分的形式，例如利用分母的导数构造积分项。
3. 积分方法组合：结合对数积分和幂函数积分，最终合并结果。

破题关键点：

• 观察分子与分母的关系，尝试将分子拆解为与分母相关联的表达式。
• 灵活运用分式拆分，例如将分子表示为分母导数的线性组合，简化积分步骤。

原积分：
$\int \dfrac{x^2 + 1}{(x+1)^2(x-1)} \, dx$

步骤1：部分分式分解
将被积函数拆分为两个分式的组合：
$\dfrac{x^2 + 1}{(x+1)^2(x-1)} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{x-1}{(x+1)^2} + \dfrac{1}{x-1} \right)$

步骤2：拆分第一个分式
对 $\dfrac{x-1}{(x+1)^2}$ 进一步变形：
$\dfrac{x-1}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2x + 2}{(x+1)^2} - \dfrac{2}{(x+1)^2}$
其中，$\dfrac{2x + 2}{(x+1)^2}$ 是 $(x+1)^{-1}$ 的导数形式，便于积分。

步骤3：逐项积分
将积分拆分为三部分：

1. 第一项：$\dfrac{1}{4} \int \dfrac{1}{(x+1)^2} \, d(x+1)^2 = \dfrac{1}{4} \ln(x+1)^2$
2. 第二项：$-\int \dfrac{1}{(x+1)^2} \, dx = \dfrac{1}{x+1}$
3. 第三项：$\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{x-1} \, dx = \dfrac{1}{2} \ln|x-1|$

步骤4：合并结果
将所有积分结果合并并化简：
$\dfrac{1}{2} \ln|x^2 - 1| + \dfrac{1}{x+1} + C$