2.利用极限存在的准则证明:-|||-(1) lim _(narrow infty )n(dfrac (1)({n)^2+pi }+dfrac (1)({n)^2+2pi }+... +dfrac (1)({n)^2+npi })= 1.

考查要点：本题主要考查夹逼准则（夹挤定理）的应用，以及如何通过构造适当的不等式来求解数列极限。

解题核心思路：

1. 观察和式的结构：和式中的每一项分母为 $n^2 + k\pi$（$k$ 从 $1$ 到 $n$），整体乘以 $n$。
2. 构造不等式：通过比较分母的大小关系，找到和式的上下界。
3. 求极限：分别计算上下界的极限，若两者极限相同，则原式极限为此值。

破题关键点：

• 分母的大小关系：当 $k$ 增大时，分母 $n^2 + k\pi$ 增大，因此 $\frac{1}{n^2 + k\pi}$ 减小。
• 上下界的选择：利用最小分母和最大分母分别构造和式的上下界，进而得到整体表达式的上下限。

步骤1：构造不等式

分析分母的范围：
对于 $k = 1, 2, \dots, n$，分母满足
$n^2 + \pi \leq n^2 + k\pi \leq n^2 + n\pi.$
因此，每一项满足
$\frac{1}{n^2 + n\pi} \leq \frac{1}{n^2 + k\pi} \leq \frac{1}{n^2 + \pi}.$

求和并乘以 $n$：
将上述不等式对 $k$ 从 $1$ 到 $n$ 求和，得到
$n \cdot \frac{n}{n^2 + n\pi} \leq n \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2 + k\pi} \right) \leq n \cdot \frac{n}{n^2 + \pi}.$

步骤2：计算上下限的极限

左边极限：
$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + n\pi} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{\pi}{n}} = 1.$

右边极限：
$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + \pi} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{\pi}{n^2}} = 1.$

步骤3：应用夹逼准则

由于上下限的极限均为 $1$，根据夹逼准则，原式极限为
$\lim_{n \to \infty} n \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2 + k\pi} \right) = 1.$