【国考2012-76】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个？A. 3B. 4C. 7D. 13

考查要点：本题主要考查二元一次方程的应用，涉及整数解的讨论及实际问题的约束条件分析。

解题核心思路：

1. 设大包装盒和小包装盒的数量分别为$x$和$y$，根据题意建立方程：
   $12x + 5y = 99$
   $x + y \text{为十多个（即 } 10 < x + y < 20 \text{）}$
2. 通过模运算分析$x$的取值范围，结合整数解的条件，确定可能的$x$和$y$值。
3. 验证解是否满足所有约束条件，最终计算两种包装盒的数量差。

破题关键点：

• 利用模运算缩小$x$的取值范围，发现$x \equiv 2 \pmod{5}$，即$x = 5k + 2$（$k$为非负整数）。
• 代入方程求$y$，结合总盒数的范围筛选出唯一可行解。

设大包装盒用$x$个，小包装盒用$y$个，根据题意：

1. 苹果总数方程：
   $12x + 5y = 99$
2. 总盒数范围：
   $10 < x + y < 20$

步骤1：分析$x$的取值条件
将方程变形为：
$y = \frac{99 - 12x}{5}$
因为$y$必须为非负整数，所以$99 - 12x$必须是5的倍数且非负。
通过模运算分析：
$99 \equiv 4 \pmod{5}, \quad 12x \equiv 2x \pmod{5}$
因此：
$4 - 2x \equiv 0 \pmod{5} \implies 2x \equiv 4 \pmod{5} \implies x \equiv 2 \pmod{5}$
即$x = 5k + 2$（$k$为非负整数）。

步骤2：代入$x$求$y$
将$x = 5k + 2$代入$y$的表达式：
$y = \frac{99 - 12(5k + 2)}{5} = 15 - 12k$
要求$y \geq 0$，即：
$15 - 12k \geq 0 \implies k \leq 1.25$
因此$k$的可能取值为$0$或$1$。

步骤3：验证总盒数范围

• 当$k = 0$时：
  $x = 2, \quad y = 15, \quad x + y = 17 \quad (\text{符合条件})$
• 当$k = 1$时：
  $x = 7, \quad y = 3, \quad x + y = 10 \quad (\text{不符合“十多个”})$

结论：唯一可行解为$x = 2$，$y = 15$，两种包装盒相差：
$|x - y| = |2 - 15| = 13$