已知一个家庭有3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的)

考查要点：本题主要考查条件概率的理解与应用，以及枚举法在概率问题中的使用。

解题核心思路：

1. 明确题目中的条件事件（已知至少有一个女孩）和目标事件（至少有一个男孩）。
2. 确定样本空间：在条件限制下，排除不符合的情况，重新计算可能的样本点数量。
3. 利用条件概率公式或直接计数法求解概率。

破题关键点：

• 条件概率公式：$P(B|A) = \dfrac{P(AB)}{P(A)}$，其中$A$为“至少一个女孩”，$B$为“至少一个男孩”。
• 排除法：在已知至少有一个女孩的情况下，排除全男孩的情况，再排除全女孩的情况，得到符合条件的样本点数量。

方法1：概率公式法

1. 定义事件：
   • $A$：3个小孩中至少有一个女孩。
   • $B$：3个小孩中至少有一个男孩。
2. 计算$P(A)$：
   • 全男孩的概率为$\dfrac{1}{8}$，因此$P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$。
3. 计算$P(AB)$：
   • $AB$表示“至少有一个女孩且至少有一个男孩”，即排除全男孩和全女孩的情况。
   • 全男孩和全女孩的概率均为$\dfrac{1}{8}$，因此$P(AB) = 1 - \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$。
4. 代入条件概率公式：
   $P(B|A) = \dfrac{P(AB)}{P(A)} = \dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{7}{8}} = \dfrac{6}{7}.$

方法2：计数法

1. 总样本空间：3个小孩的性别组合共有$2^3 = 8$种可能。
2. 事件$A$的样本点：排除全男孩（BBB），共$8 - 1 = 7$种。
3. 事件$AB$的样本点：在$A$的条件下，排除全女孩（GGG），剩余$7 - 1 = 6$种。
4. 计算概率：
   $P(B|A) = \dfrac{n(AB)}{n(A)} = \dfrac{6}{7}.$