已知制作一个背包的成本为40元,如果每一个背包的售出价为x元,售出的背-|||-包数由-|||-=dfrac (a)(x-40)+b(80-x)-|||-给出,其中a,b为正常数.问什么样的售出价格能带来最大利润?

考查要点：本题主要考查利用导数求解实际应用中的最大值问题，涉及利润函数的建立、导数求极值的方法以及经济问题中的合理区间分析。

解题核心思路：

1. 建立利润函数：利润 = 单件利润 × 售出数量，结合题目给出的售出数量表达式，构建总利润函数。
2. 求导找极值点：对利润函数求导，找到导数为零的点（驻点），并通过二阶导数判断该点是否为极大值点。
3. 验证合理性：确认极值点是否在实际问题的合理区间内，并排除其他可能的极值点。

破题关键点：

• 正确构建利润函数，注意售出数量的表达式中隐含的变量范围限制（如分母不能为零，售出数量需为正）。
• 导数计算的准确性，特别是处理多项式乘积时的求导规则。
• 区间分析，确定变量$x$的合理范围，确保解的实际可行性。

步骤1：建立利润函数

利润由单件利润与售出数量相乘得到：
$P(x) = (x - 40) \cdot n = (x - 40) \left( \frac{a}{x - 40} + b(80 - x) \right)$

展开并化简：
$P(x) = a + b(x - 40)(80 - x)$

步骤2：求一阶导数并找驻点

对$P(x)$求导：
$P'(x) = b \left[ (80 - x) + (x - 40)(-1) \right] = b(120 - 2x)$

令$P'(x) = 0$，解得：
$120 - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 60$

步骤3：判断极值性质

求二阶导数：
$P''(x) = -2b$

由于$b > 0$，故$P''(60) = -2b < 0$，说明$x = 60$是极大值点。

步骤4：验证区间合理性

售出数量$n$需为正，分析$x$的范围：

• 当$x > 40$时，$\frac{a}{x - 40} > 0$；
• 当$x \leq 80$时，$b(80 - x) \geq 0$。

因此，$x$的有效区间为$40 < x \leq 80$，而$x = 60$在此区间内，且为唯一驻点，故为全局最大值点。