设 A,B,C 为三个事件, 试用 A,B,C 的运算式表示下列事件:(1) A 发生, B,C 都不发生;(2) A 与 B 发生, C 不发生;(3) A,B,C 都发生;(4) A,B,C 至少有一个发生;(5) A,B,C 都不发生;(6) A,B,C 不都发生;(7) A,B,C 至多有两个发生;(8) A,B,C 至少有两个发生.

我们设事件 $ A, B, C $ 是三个随机事件。我们用集合运算（交、并、补）来表示这些事件之间的关系。记：

• $ A $：事件 A 发生
• $ \overline{A} $：事件 A 不发生（即 A 的补事件）
• $ A \cup B $：A 或 B 发生（至少一个发生）
• $ A \cap B $：A 和 B 同时发生（也可简写为 $ AB $）

下面我们逐个分析题目中的各个事件：

(1) A 发生，B、C 都不发生

• A 发生：$ A $
• B 不发生：$ \overline{B} $
• C 不发生：$ \overline{C} $
• 三者同时发生：$ A \cap \overline{B} \cap \overline{C} $

答案： $ A \overline{B} \overline{C} $

(2) A 与 B 发生，C 不发生

• A 发生：$ A $
• B 发生：$ B $
• C 不发生：$ \overline{C} $
• 三者同时：$ A \cap B \cap \overline{C} $

答案： $ AB\overline{C} $

(3) A、B、C 都发生

• 三个事件同时发生：$ A \cap B \cap C $

答案： $ ABC $

(4) A、B、C 至少有一个发生

• 至少一个发生，即 A 或 B 或 C 发生：取三者的并集

答案： $ A \cup B \cup C $

(5) A、B、C 都不发生

• A 不发生：$ \overline{A} $
• B 不发生：$ \overline{B} $
• C 不发生：$ \overline{C} $
• 三者都不发生：同时成立，即交集

答案： $ \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} $，也可写作 $ \overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C} $

(6) A、B、C 不都发生

• “不都发生”表示：不是三者都发生，即至少有一个不发生
• 也就是 $ ABC $ 的补事件

答案： $ \overline{ABC} = \overline{A \cap B \cap C} $

也可以写成：$ \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C} $（根据德摩根律）

答案： $ \overline{ABC} $ 或 $ \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C} $

(7) A、B、C 至多有两个发生

• “至多有两个发生”：即 不可能三个都发生
• 也就是说，三个事件中发生 0 个、1 个或 2 个，但不能是 3 个
• 等价于 “不是三个都发生”

这与第 (6) 问 完全相同

> 注意：“不都发生” = “至少一个不发生” = “至多两个发生”

所以 (6) 和 (7) 是同一个事件

答案： $ \overline{ABC} $ 或 $ \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C} $

(8) A、B、C 至少有两个发生

• 至少有两个发生，包括以下情况：
  1. A 和 B 发生，C 不发生：$ AB\overline{C} $
  2. A 和 C 发生，B 不发生：$ A\overline{B}C $
  3. B 和 C 发生，A 不发生：$ \overline{A}BC $
  4. A、B、C 都发生：$ ABC $

所以总事件是这四个互斥情况的并集：

$AB\overline{C} \cup A\overline{B}C \cup \overline{A}BC \cup ABC$

也可以简化为：任意两个发生，并允许第三个发生或不发生

另一种表达方式是：

$AB \cup BC \cup AC$

> 解释：$ AB $ 表示 A 和 B 都发生，不管 C 如何，此时至少有两个发生；同理 $ BC $、$ AC $。这三个事件的并集就涵盖了“至少有两个发生”的所有情况（包括三个都发生的情况，它被包含在每一对中）。

验证：当 ABC 都发生时，$ AB $、$ BC $、$ AC $ 都发生，所以包含在并集中。

所以更简洁的写法是：

答案： $ AB \cup BC \cup AC $

最终答案汇总：

(1) $ A \overline{B} \overline{C} $
(2) $ AB\overline{C} $
(3) $ ABC $
(4) $ A \cup B \cup C $
(5) $ \overline{A} \overline{B} \overline{C} $
(6) $ \overline{ABC} $ 或 $ \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C} $
(7) $ \overline{ABC} $ 或 $ \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C} $
(8) $ AB \cup BC \cup AC $

特别注意：

• (6) 和 (7) 是等价的：“不都发生” = “至多两个发生”
• (8) 不能写成 $ ABC $，那是“都发生”，范围太小
• 使用集合运算时，交表示“同时”，并表示“或者”，补表示“不发生”

\boxed{
\begin{aligned}&(1)\ A\overline{B}\overline{C} \\&(2)\ AB\overline{C} \\&(3)\ ABC \\&(4)\ A \cup B \cup C \\&(5)\ \overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C} \\&(6)\ \overline{ABC} \text{ 或 } \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C} \\&(7)\ \overline{ABC} \text{ 或 } \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C} \\&(8)\ AB \cup BC \cup AC\end{aligned}
}