计算下列极限: (1)lim _(xarrow 2)dfrac ({x)^3+2(x)^2}({(x-2))^2};(2)lim _(xarrow 2)dfrac ({x)^3+2(x)^2}({(x-2))^2}; (3)lim _(xarrow 2)dfrac ({x)^3+2(x)^2}({(x-2))^2}.

1. 极限类型判断：三个小题均考查函数在特定点的极限，需结合函数特性分析趋势。

   • (1) 分母在$x=2$处趋于$0$，分子趋于$16$，需判断分母趋近于$0$时的符号及整体趋势。
   • (2) 分式型极限，分子次数高于分母，需比较最高次项的次数。
   • (3) 多项式极限，由最高次项主导趋势。

2. 核心思路：

   • (1) 利用倒数法或直接分析分母趋近于$0$的符号。
   • (2) 分子分母同除以最高次项，观察极限趋势。
   • (3) 直接分析最高次项的符号和次数。

第（1）题

代入检验

当$x \rightarrow 2$时，分子$x^3 + 2x^2 = 2^3 + 2 \cdot 2^2 = 8 + 8 = 16$，分母$(x-2)^2 \rightarrow 0$，因此分式整体趋于无穷大。

分母符号分析

$(x-2)^2$在$x \rightarrow 2$时始终为正，故$\dfrac{16}{\text{趋近于0的正数}} \rightarrow +\infty$。

倒数法验证

计算倒数$\lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{(x-2)^2}{x^3 + 2x^2} = \dfrac{0}{16} = 0$，因此原极限为$+\infty$。

第（2）题

比较次数

分子$x^2$次数为$2$，分母$2x+1$次数为$1$，分子次数更高，故极限趋于$+\infty$。

分式变形

分子分母同除以$x$：
$\lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{x^2}{2x+1} = \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{x}{2 + \dfrac{1}{x}} = \dfrac{+\infty}{2} = +\infty.$

第（3）题

最高次项主导

多项式$2x^3 - x + 1$中，最高次项$2x^3$的系数为正，次数为$3$，当$x \rightarrow \infty$时，$2x^3$主导，故极限趋于$+\infty$。