题目

设 f(u,v) 可微，f(0,0)=0，则（）A. f(x,y)=x int_(0)^1 (partial f(tx,y))/(partial u) dtB. f(x,y)=y int_(0)^1 (partial f(x,ty))/(partial v) dtC. f(x,y)=x int_(0)^1 (partial f(tx,ty))/(partial u) dt + y int_(0)^1 (partial f(tx,ty))/(partial v) dtD. f(x,y)=x int_(0)^1 (partial f(tx,y))/(partial u) dt + y int_(0)^1 (partial f(x,ty))/(partial v) dt

设 $f(u,v)$ 可微，$f(0,0)=0$，则（） A. $f(x,y)=x \int_{0}^{1} \frac{\partial f(tx,y)}{\partial u} dt$ B. $f(x,y)=y \int_{0}^{1} \frac{\partial f(x,ty)}{\partial v} dt$ C. $f(x,y)=x \int_{0}^{1} \frac{\partial f(tx,ty)}{\partial u} dt + y \int_{0}^{1} \frac{\partial f(tx,ty)}{\partial v} dt$ D. $f(x,y)=x \int_{0}^{1} \frac{\partial f(tx,y)}{\partial u} dt + y \int_{0}^{1} \frac{\partial f(x,ty)}{\partial v} dt$

题目解答

答案

我们来逐项分析这个题目。 --- ### 题目信息： - 函数 $ f(u, v) $ 可微； - $ f(0, 0) = 0 $； - 选项给出的是 $ f(x, y) $ 的几种表达式，涉及对 $ f $ 的偏导数的积分。 我们要判断哪一个选项是恒成立的，即对所有满足条件的函数 $ f $，该等式成立。 --- ### 思路： 这类题目常利用**多元函数的积分表示**，特别是**路径积分**或**参数化积分**的思想。 我们考虑一个基本的技巧：设一个函数 $ f(x, y) $，我们可以用积分的方式将其表示为： $$ f(x, y) = \int_0^1 \frac{d}{dt} f(tx, ty) \, dt $$ 这相当于沿着从原点 $ (0,0) $ 到 $ (x,y) $ 的直线路径积分。利用链式法则展开： $$ \frac{d}{dt} f(tx, ty) = x \frac{\partial f}{\partial u}(tx, ty) + y \frac{\partial f}{\partial v}(tx, ty) $$ 所以： $$ f(x, y) = \int_0^1 \left[ x \frac{\partial f}{\partial u}(tx, ty) + y \frac{\partial f}{\partial v}(tx, ty) \right] dt $$ 将其拆开： $$ f(x, y) = x \int_0^1 \frac{\partial f}{\partial u}(tx, ty) \, dt + y \int_0^1 \frac{\partial f}{\partial v}(tx, ty) \, dt $$ 这就是选项 **C** 的形式： > **C.** $ f(x,y)=x \int_{0}^{1} \frac{\partial f(tx,ty)}{\partial u} dt + y \int_{0}^{1} \frac{\partial f(tx,ty)}{\partial v} dt $ --- ### 验证其他选项： #### A. $ f(x,y)=x \int_{0}^{1} \frac{\partial f(tx,y)}{\partial u} dt $ 这个选项中，$ f(tx, y) $ 的第二个变量是固定的 $ y $，而积分变量是 $ t $，这会导致表达式不完整，不能覆盖 $ f(x, y) $ 的所有变化，因此不恒成立。 #### B. $ f(x,y)=y \int_{0}^{1} \frac{\partial f(x,ty)}{\partial v} dt $ 同理，第一个变量是固定的 $ x $，不能表示所有情况。 #### D. $ f(x,y)=x \int_{0}^{1} \frac{\partial f(tx,y)}{\partial u} dt + y \int_{0}^{1} \frac{\partial f(x,ty)}{\partial v} dt $ 这个看起来像是 A 和 B 的组合，但变量不一致，不能保证积分表达式的正确性。 --- ### 结论： 只有 **选项 C** 是恒成立的，它正确地利用了从原点到 $ (x, y) $ 的路径积分，将 $ f(x, y) $ 表达为偏导数的积分。 --- ### 最终答案： $$ \boxed{\text{C}} $$

解析

本题考查多元函数的积分表示法，核心思路是利用链式法则和路径积分将函数$f(x,y)$表示为偏导数的积分。关键点在于：

  1. 参数化路径：从原点$(0,0)$沿直线到$(x,y)$，参数化为$(tx, ty)$；
  2. 链式法则展开：对$f(tx, ty)$求导，得到偏导数的线性组合；
  3. 积分还原函数：通过积分导数表达式，结合$f(0,0)=0$，得到$f(x,y)$的积分形式。

核心推导

  1. 参数化路径：设$t \in [0,1]$，考虑函数沿路径$(tx, ty)$的变化；
  2. 求导链式法则：
    $\frac{d}{dt} f(tx, ty) = x \frac{\partial f}{\partial u}(tx, ty) + y \frac{\partial f}{\partial v}(tx, ty)$
  3. 积分还原函数：
    $f(x,y) = \int_{0}^{1} \frac{d}{dt} f(tx, ty) \, dt = x \int_{0}^{1} \frac{\partial f}{\partial u}(tx, ty) \, dt + y \int_{0}^{1} \frac{\partial f}{\partial v}(tx, ty) \, dt$
    对应选项C。

选项分析

  • A、B：仅对单一变量积分，无法覆盖$f(x,y)$的全部变化；
  • D：参数不一致（$tx,y$与$x,ty$混合），导致积分表达式错误。