题目

二、填空题。1. 设 A, B 为两个事件，若 P(B) = 0.7，P(B - A) = 0.3，则 P(AB) = _____。2. 若事件 A, B 互斥，且 P(A + B) = 0.8，P(A) = 0.2，则 P(B) = _____。3. 若事件 A, B 相互独立，且 P(A) = 0.25，P(B) = 0.5，则 P(A - B) = _____。4. 设 A, B 为两事件，且 P(A) = p，P(AB) = P(overline(A) overline(B))，则 P(B) = _____。5. 袋中有 1 只白球，2 只红球，甲、乙、丙 3 人依次有放回抽取一球，丙取到白球的概率为 _____。6. 袋中有 8 只白球，2 只红球，甲、乙 2 人依次不放回抽取一球，甲、乙各取到红、白球的概率为 _____。

二、填空题。 1. 设 A, B 为两个事件，若 $P(B) = 0.7$，$P(B - A) = 0.3$，则 $P(AB) = \_\_\_\_\_$。 2. 若事件 A, B 互斥，且 $P(A + B) = 0.8$，$P(A) = 0.2$，则 $P(B) = \_\_\_\_\_$。 3. 若事件 A, B 相互独立，且 $P(A) = 0.25$，$P(B) = 0.5$，则 $P(A - B) = \_\_\_\_\_$。 4. 设 A, B 为两事件，且 $P(A) = p$，$P(AB) = P(\overline{A} \overline{B})$，则 $P(B) = \_\_\_\_\_$。 5. 袋中有 1 只白球，2 只红球，甲、乙、丙 3 人依次有放回抽取一球，丙取到白球的概率为 \_\_\_\_\_$。 6. 袋中有 8 只白球，2 只红球，甲、乙 2 人依次不放回抽取一球，甲、乙各取到红、白球的概率为 \_\_\_\_\_$。

题目解答

答案

我们逐题分析并解答：

第1题：

题目：
设 $ A, B $ 为两个事件，若 $ P(B) = 0.7 $，$ P(B - A) = 0.3 $，则 $ P(AB) = \_\_\_\_\_ $。

解题过程：
我们知道：
$P(B - A) = P(B) - P(AB)$
代入已知数据：
$0.3 = 0.7 - P(AB)$
解得：
$P(AB) = 0.7 - 0.3 = 0.4$

答案：
$\boxed{0.4}$

第2题：

题目：
若事件 $ A, B $ 互斥，且 $ P(A + B) = 0.8 $，$ P(A) = 0.2 $，则 $ P(B) = \_\_\_\_\_ $。

解题过程：
由于 $ A $ 与 $ B $ 互斥，表示 $ A \cap B = \varnothing $，所以：
$P(A + B) = P(A) + P(B)$
代入数据：
$0.8 = 0.2 + P(B)$
解得：
$P(B) = 0.8 - 0.2 = 0.6$

答案：
$\boxed{0.6}$

第3题：

题目：
若事件 $ A, B $ 相互独立，且 $ P(A) = 0.25 $，$ P(B) = 0.5 $，则 $ P(A - B) = \_\_\_\_\_ $。

解题过程：
我们要求的是 $ P(A - B) $，即 $ P(A \cap \overline{B}) $。

由于 $ A $ 与 $ B $ 独立，那么 $ A $ 与 $ \overline{B} $ 也独立，所以：
$P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B}) = P(A) \cdot (1 - P(B))$
代入数据：
$P(A - B) = 0.25 \cdot (1 - 0.5) = 0.25 \cdot 0.5 = 0.125$

答案：
$\boxed{0.125}$

第4题：

题目：
设 $ A, B $ 为两事件，且 $ P(A) = p $，$ P(AB) = P(\overline{A} \overline{B}) $，则 $ P(B) = \_\_\_\_\_ $。

解题过程：
我们已知：
$P(AB) = P(\overline{A} \overline{B})$

我们利用全概率公式展开：
$P(AB) = P(A) \cdot P(B|A)$
$P(\overline{A} \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}|\overline{A}) = (1 - P(A)) \cdot (1 - P(B|\overline{A}))$

但这样比较复杂，我们换一种思路：

考虑全样本空间划分为四个部分：

  • $ AB $
  • $ A\overline{B} $
  • $ \overline{A}B $
  • $ \overline{A}\overline{B} $

我们设：

  • $ x = P(AB) $
  • $ y = P(A\overline{B}) $
  • $ z = P(\overline{A}B) $
  • $ w = P(\overline{A}\overline{B}) $

根据题意：
$x = w$

又因为：

  • $ P(A) = x + y = p $
  • $ P(B) = x + z $

我们要求 $ P(B) = x + z $，但我们不知道 $ z $。

但我们知道：
$x + y + z + w = 1$
代入 $ x = w $，得：
$x + y + z + x = 1 \Rightarrow 2x + y + z = 1$

又因为 $ x + y = p $，代入：
$2x + (p - x) + z = 1 \Rightarrow x + p + z = 1 \Rightarrow z = 1 - x - p$

所以：
$P(B) = x + z = x + (1 - x - p) = 1 - p$

答案：
$\boxed{1 - p}$

第5题：

题目：
袋中有 1 只白球，2 只红球，甲、乙、丙 3 人依次有放回抽取一球，丙取到白球的概率为 _____。

解题过程：
因为是有放回抽取，每次抽取独立，且每次抽到白球的概率为：
$\frac{1}{3}$

所以丙抽到白球的概率就是：
$\boxed{\frac{1}{3}}$

第6题：

题目：
袋中有 8 只白球，2 只红球，甲、乙 2 人依次不放回抽取一球，甲、乙各取到红、白球的概率为 _____。

解题过程：
我们要求的是：甲取到红球，乙取到白球的概率。

  1. 甲取到红球的概率为：
    $\frac{2}{10}$

  2. 在甲取到红球的前提下，剩下 9 个球中有 8 白 1 红，乙取到白球的概率为：
    $\frac{8}{9}$

所以所求概率为：
$\frac{2}{10} \cdot \frac{8}{9} = \frac{16}{90} = \frac{8}{45}$

答案：
$\boxed{\frac{8}{45}}$

最终答案汇总：

  1. $ \boxed{0.4} $
  2. $ \boxed{0.6} $
  3. $ \boxed{0.125} $
  4. $ \boxed{1 - p} $
  5. $ \boxed{\frac{1}{3}} $
  6. $ \boxed{\frac{8}{45}} $

解析

本题主要考查了概率论中的基本概念和公式，包括事件的差、互斥事件、独立事件、全概率公式以及古典概型等知识。解题思路是根据不同题目所涉及的知识点，运用相应的公式进行计算。

  1. 第1题：
    • 本题考查事件差的概率公式。解题思路是利用公式$P(B - A) = P(B) - P(AB)$，已知$P(B)$和$P(B - A)$的值，通过移项即可求出$P(AB)$。
    • 解析：
      已知$P(B - A) = P(B) - P(AB)$，将$P(B) = 0.7$，$P(B - A) = 0.3$代入可得：
      $0.3 = 0.7 - P(AB)$
      移项可得：
      $P(AB) = 0.7 - 0.3 = 0.4$
  2. 第2题：
    • 本题考查互斥事件的概率加法公式。解题思路是因为$A$与$B$互斥，所以$P(A + B) = P(A) + P(B)$，已知$P(A + B)$和$P(A)$的值，通过移项可求出$P(B)$。
    • 解析：
      由于$A$与$B$互斥，即$A \cap B = \varnothing$，则$P(A + B) = P(A) + P(B)$。
      将$P(A + B) = 0.8$，$P(A) = 0.2$代入可得：
      $0.8 = 0.2 + P(B)$
      移项可得：
      $P(B) = 0.8 - 0.2 = 0.6$
  3. 第3题：
    • 本题考查独立事件的性质和事件差的概率计算。解题思路是先明确$P(A - B) = P(A \cap \overline{B})$，因为$A$与$B$独立，所以$A$与$\overline{B}$也独立，根据独立事件的概率乘法公式$P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B})$，再结合$P(\overline{B}) = 1 - P(B)$进行计算。
    • 解析：
      因为$A$与$B$相互独立，所以$A$与$\overline{B}$也独立，则$P(A - B) = P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B})$。
      又因为$P(\overline{B}) = 1 - P(B)$，将$P(A) = 0.25$，$P(B) = 0.5$代入可得：
      $P(A - B) = 0.25 \cdot (1 - 0.5) = 0.25 \cdot 0.5 = 0.125$
  4. 第4题：
    • 本题考查全概率公式和事件概率的基本运算。解题思路是将全样本空间划分为$AB$、$A\overline{B}$、$\overline{A}B$、$\overline{A}\overline{B}$四个部分，设它们的概率分别为$x$、$y$、$z$、$w$，根据已知条件$P(AB) = P(\overline{A} \overline{B})$即$x = w$，再结合$P(A) = x + y = p$和全概率公式$x + y + z + w = 1$，通过代换和化简求出$P(B) = x + z$的值。
    • 解析：
      设$x = P(AB)$，$y = P(A\overline{B})$，$z = P(\overline{A}B)$，$w = P(\overline{A}\overline{B})$。
      已知$x = w$，$P(A) = x + y = p$，$P(B) = x + z$，且$x + y + z + w = 1$。
      将$x = w$代入$x + y + z + w = 1$可得：
      $2x + y + z = 1$
      再将$y = p - x$代入上式可得：
      $2x + (p - x) + z = 1$
      化简可得：
      $x + p + z = 1$
      移项可得：
      $z = 1 - x - p$
      所以$P(B) = x + z = x + (1 - x - p) = 1 - p$
  5. 第5题：
    • 本题考查有放回抽样的古典概型。解题思路是因为是有放回抽取，每次抽取相互独立，且每次抽到白球的概率只与袋中球的总数和白球的数量有关，所以丙抽到白球的概率与甲、乙抽取的结果无关，直接计算袋中抽到白球的概率即可。
    • 解析：
      袋中一共有$1 + 2 = 3$只球，其中白球有$1$只，所以每次抽到白球的概率为$\frac{1}{3}$，即丙取到白球的概率为$\frac{1}{3}$。
  6. 第6题：
    • 本题考查不放回抽样的古典概型和条件概率。解题思路是先计算甲取到红球的概率，再在甲取到红球的条件下计算乙取到白球的概率，最后根据条件概率公式$P(AB) = P(A) \cdot P(B|A)$计算甲取到红球且乙取到白球的概率。
    • 解析：
      甲取到红球的概率为$\frac{2}{10}$。
      在甲取到红球的前提下，剩下$9$个球中有$8$只白球和$1$只红球，所以乙取到白球的概率为$\frac{8}{9}$。
      根据条件概率公式可得甲、乙各取到红、白球的概率为：
      $\frac{2}{10} \cdot \frac{8}{9} = \frac{16}{90} = \frac{8}{45}$