题目
【题目】y(x)是由方程xy=ln(x+y)确定的隐函数求dy
【题目】y(x)是由方程xy=ln(x+y)确定的隐函数求dy
题目解答
答案
【解析】两边对求导得y+xy'=(1+y')/(x+y) y(x+y)+x(x+y)y'=1+y' y'[x(x+y)-1]=1-y(x+y) y'=[1-y(x+y)]/[x(x+y)-1] dy=[1-y(x+y)]/[x(x+y)-1]dx
解析
步骤 1：对给定方程两边同时对x求导
给定方程为xy=ln(x+y)，我们首先对两边同时对x求导。根据乘积法则和链式法则，我们得到：
\[ y + xy' = \frac{1+y'}{x+y} \]
步骤 2：整理方程求解y'
将上式整理，得到：
\[ y(x+y) + x(x+y)y' = 1 + y' \]
\[ y'[x(x+y) - 1] = 1 - y(x+y) \]
\[ y' = \frac{1 - y(x+y)}{x(x+y) - 1} \]
步骤 3：求dy
根据微分的定义，dy = y'dx，将y'的表达式代入，得到：
\[ dy = \frac{1 - y(x+y)}{x(x+y) - 1} dx \]
给定方程为xy=ln(x+y)，我们首先对两边同时对x求导。根据乘积法则和链式法则，我们得到：
\[ y + xy' = \frac{1+y'}{x+y} \]
步骤 2：整理方程求解y'
将上式整理，得到：
\[ y(x+y) + x(x+y)y' = 1 + y' \]
\[ y'[x(x+y) - 1] = 1 - y(x+y) \]
\[ y' = \frac{1 - y(x+y)}{x(x+y) - 1} \]
步骤 3：求dy
根据微分的定义，dy = y'dx，将y'的表达式代入，得到：
\[ dy = \frac{1 - y(x+y)}{x(x+y) - 1} dx \]