(1)lim_(xto3)(sqrt(x^3)+9-6)/(2-sqrt(x^3)-23)=_____.
题目解答
答案
将 $ x = 3 $ 代入原式，分子和分母均为 0，形成 $ \frac{0}{0} $ 型不定式。
对分子和分母分别有理化：
分子：$\sqrt{x^3 + 9} - 6$ 乘以共轭得 $\frac{x^3 - 27}{\sqrt{x^3 + 9} + 6}$，
分母：$2 - \sqrt{x^3 - 23}$ 乘以共轭得 $\frac{27 - x^3}{2 + \sqrt{x^3 - 23}}$。
原式化简为：
$\lim_{x \to 3} \left( -\frac{2 + \sqrt{x^3 - 23}}{\sqrt{x^3 + 9} + 6} \right)$
代入 $ x = 3 $，得：
$-\frac{2 + 2}{6 + 6} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$
答案： $\boxed{-\frac{1}{3}}$
解析
本题考查极限的的计算，解题思路是先判断极限类型，再通过有理化化简式子，最后代入极限值求解。
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判断极限类型
将 $x = 3$ 代入原式 $\lim_{x\to3}\frac{\sqrt{x^{3}+9}-6}{2-\sqrt{x^{3}-23}}$，分子 $\sqrt{3^3 + 9 - 6 = \sqrt{27 + 9} - 6 = \sqrt{36} - 6 = 6 - 6 = 0$，分母 $2 - \sqrt{3^3 - 23} = 2 - \sqrt{27 - 23} = 2 - \sqrt{4} = 2 - 2 = 0$，形成 $\(\frac{0}{0}$型不定式。 -
对分子和分母分别有理化
- 分子有理化
分子 $\sqrt{x^3 + 9} - 6$ 乘以其共轭 $\sqrt{x^3 + 9} + + 6$，得到：
$\frac{(\sqrt{x^3 + 9} - 6)(\sqrt{x^3 + 9} + 6)}{(\sqrt{x^3 + 9} + 6)} = \frac{(\sqrt{x^3 + 9})^2 - 6^2}{\sqrt{x^3 + 9} + 6} = \frac{x^3 + 9 - - 36}{\sqrt{x^3 + 9} + 6} = \frac{x^3 - 27}{\sqrt{x^3 + 9} + 6}$ - **分母有理化
分母 $2 - \sqrt{x^3 - 23}$ 乘以其共轭 $2 + \sqrt{x^3 - 23}$，得到：
$\frac{(2 - \sqrt{x^3 - 23})(2 + \sqrt{x^3 - 23})}{(2 + \sqrt{x^3 - 23})} = \frac{2^2 - (\sqrt{x^3 - 23})^2}{2 + \sqrt{x^3 - 23}} = \frac{4 - (x^3 - 23)}{2 + \sqrt{x^3 - 23}} = \frac{27 - x^3}{2 + \sqrt{x^3 - 23}}$
- 分子有理化
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化简原式
原式 $\(\lim_{x \to 3} \frac{\frac{x^3 - 27}{\sqrt{x^3 + 9} + 6}}{\frac{27 - x^3}{2 + \sqrt{x^3 - 23}}}$，根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，可化简为：
$\lim_{x \to 3} \left( -\frac{2 + \sqrt{x^3 - 23}}{\sqrt{x^3 + 9} + 6} \right)$ -
**代入 \( x = 3 求解** 将 $x = 3$ 代入化简后的式子，得到：
$-\frac{2 + \sqrt{3^3 - 23}}{ \sqrt{3^3 + 9} + 6} = -\frac{2 + 2}{6 + 6} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$