求向量组α1=（1，1，3，1），α2=（-1，1，-1，3），α3=（5，-2，8，-9），α4=（-1，3，1，7）的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示．.

由于(αT1,αT2,αT3,αT4)=⎛⎝⎜⎜⎜1131−11−135−28−9−1317⎞⎠⎟⎟⎟→⎛⎝⎜⎜⎜1000−12245−7−7−14−1448⎞⎠⎟⎟⎟→⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜1000−11005−7200−1200⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟→⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜1000010032−72001200⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.

因为上述最简形矩阵非零行的第一个非零元在1，2两列，

所以，αT1，αT2是矩阵(αT1,αT2,αT3,αT4)的一个最大线性无关组，且有

αT3=32αT1−72αT2，αT4=αT12αT2

所以，α1，α2是向量组α1，α2，α3，α4的一个最大线性无关组，

且有α3=32α1−72α2，α4=α12α2.