题目
(10分) 如图,AB为⊙O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交AC于点D,过点D作⊙O的切线,交BA的延长线于点E.(1)求证:AC∥DE;(2)连接CD,若OA=AE=1,求四边形ACDE面积.AC
(10分) 如图,AB为⊙O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交
于点D,过点D作⊙O的切线,交BA的延长线于点E.
(1)求证:AC∥DE;
(2)连接CD,若OA=AE=1,求四边形ACDE面积.
题目解答
答案
(1)证明:∵ED与⊙O相切于D,∴OD⊥DE,
∵F为弦AC中点,∴OD⊥AC,∴AC∥DE.…………………………………4分
(2)解:作DM⊥OA于M,连接CD,CO,AD.
∵AC∥DE,AE=AO,∴OF=DF,
∵AF⊥DO,∴AD=AO,∴AD=AO=OD,
∴△ADO是等边三角形,同理△CDO也是等边三角形,……6分
∴∠CDO=∠DOA=60°,AE=CD=AD=AO=DD=1,
∴AO∥CD,又AE=CD,
∴四边形ACDE是平行四边形,易知DM=
,…………8分
∴平行四边形ACDE面积=.……………10分
解析
(1)证明:
步骤 1: 证明OD⊥DE
由于ED与⊙O相切于D,根据切线的性质,切线与过切点的半径垂直,因此OD⊥DE.
步骤 2: 证明OD⊥AC
由于F为弦AC中点,根据垂径定理,过圆心的直线垂直于弦,因此OD⊥AC.
步骤 3: 证明AC∥DE
由于OD⊥DE且OD⊥AC,根据垂直于同一直线的两条直线平行的性质,可以得出AC∥DE.
(2)解:
步骤 1: 作DM⊥OA于M,连接CD,CO,AD.
步骤 2: 证明△ADO和△CDO是等边三角形
由于AC∥DE,AE=AO,因此OF=DF.又因为AF⊥DO,所以AD=AO,因此AD=AO=OD,所以△ADO是等边三角形.同理,△CDO也是等边三角形.
步骤 3: 计算四边形ACDE的面积
由于△ADO和△CDO是等边三角形,所以∠CDO=∠DOA=60°,AE=CD=AD=AO=DD=1.因此AO∥CD,又AE=CD,所以四边形ACDE是平行四边形.易知DM=$\dfrac {\sqrt {3}}{2}$,所以平行四边形ACDE面积=$\dfrac {\sqrt {3}}{2}$.
步骤 1: 证明OD⊥DE
由于ED与⊙O相切于D,根据切线的性质,切线与过切点的半径垂直,因此OD⊥DE.
步骤 2: 证明OD⊥AC
由于F为弦AC中点,根据垂径定理,过圆心的直线垂直于弦,因此OD⊥AC.
步骤 3: 证明AC∥DE
由于OD⊥DE且OD⊥AC,根据垂直于同一直线的两条直线平行的性质,可以得出AC∥DE.
(2)解:
步骤 1: 作DM⊥OA于M,连接CD,CO,AD.
步骤 2: 证明△ADO和△CDO是等边三角形
由于AC∥DE,AE=AO,因此OF=DF.又因为AF⊥DO,所以AD=AO,因此AD=AO=OD,所以△ADO是等边三角形.同理,△CDO也是等边三角形.
步骤 3: 计算四边形ACDE的面积
由于△ADO和△CDO是等边三角形,所以∠CDO=∠DOA=60°,AE=CD=AD=AO=DD=1.因此AO∥CD,又AE=CD,所以四边形ACDE是平行四边形.易知DM=$\dfrac {\sqrt {3}}{2}$,所以平行四边形ACDE面积=$\dfrac {\sqrt {3}}{2}$.