题目
设A 为三阶矩阵，特征值为0,2,3，则下列结论错误的是（ ）A与任意一个以0,2,3,为特征值的三阶矩阵相似；A是不可逆矩阵；A与任意一个秩为2的三阶矩阵等价0 0 0-|||-A一定与 0 2 0 合同-|||-0 0 3
设A 为三阶矩阵，特征值为0,2,3，则下列结论错误的是（ ）
- A与任意一个以0,2,3,为特征值的三阶矩阵相似；
- A是不可逆矩阵；
- A与任意一个秩为2的三阶矩阵等价
题目解答
答案
解：A
选项A：设A，B为数域P上两个n阶矩阵，如果可以找到数域P上的n阶可逆矩阵X，使得 ，则称A相似于B，记作A~B。
前提一定是可逆矩阵，不能是任意一个矩阵，故A错误
选项B：
，故A是不可逆矩阵
选项C：矩阵等价的充要条件是存在可逆矩阵P和Q，使得A经过有限次的初等变换得到B。具体来说，如果矩阵A和B满足B=QAP的条件，其中P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵，那么这两个矩阵之间是等价关系。矩阵A的秩为2，故A与任意一个秩为2的三阶矩阵等价
选项D：矩阵合同的主要判别法：
设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同.
设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。
易得矩阵A与所给矩阵有相同的特征值，故合同
解析
步骤 1：判断矩阵相似的条件
矩阵相似的定义是：如果存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP = B$，则矩阵A和B相似。因此，相似矩阵必须是可逆矩阵，不能是任意一个矩阵。
步骤 2：判断矩阵是否可逆
矩阵A的行列式$|A| = 0 \times 2 \times 3 = 0$，因此A是不可逆矩阵。
步骤 3：判断矩阵等价的条件
矩阵等价的定义是：如果存在可逆矩阵P和Q，使得$PAQ = B$，则矩阵A和B等价。矩阵A的秩为2，因此A与任意一个秩为2的三阶矩阵等价。
步骤 4：判断矩阵合同的条件
矩阵合同的定义是：如果存在可逆矩阵P，使得$P^TAP = B$，则矩阵A和B合同。矩阵A与所给矩阵有相同的特征值，因此合同。
矩阵相似的定义是：如果存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP = B$，则矩阵A和B相似。因此，相似矩阵必须是可逆矩阵，不能是任意一个矩阵。
步骤 2：判断矩阵是否可逆
矩阵A的行列式$|A| = 0 \times 2 \times 3 = 0$，因此A是不可逆矩阵。
步骤 3：判断矩阵等价的条件
矩阵等价的定义是：如果存在可逆矩阵P和Q，使得$PAQ = B$，则矩阵A和B等价。矩阵A的秩为2，因此A与任意一个秩为2的三阶矩阵等价。
步骤 4：判断矩阵合同的条件
矩阵合同的定义是：如果存在可逆矩阵P，使得$P^TAP = B$，则矩阵A和B合同。矩阵A与所给矩阵有相同的特征值，因此合同。