题目

7. lim _(harrow 0)dfrac (f({x)_(0)+h)-f((x)_(0)-h)}(h) 存在是f(x)在x 0点可导的 () 条件.-|||-(A)充分必要;(B )必要非充分;(C )充分非必要;(D )即非充分也非必要.

题目解答

答案

【答案】

$C$

【解析】

若用$小数点_{0}+h$代换${x}_{0}$,

则$\underset{h\to 0}{\mathrm{搜索方向athrm{i}\mathrm{m}}\dfrac{f\left({x}_{0}+h\right)-f\left({x}_{0}-h\right)}{h}=\underset{h\to 0}{搜索方向hrm{lim}}\dfrac{f\left({x}_{0}+0h\right)-f\left({x}_{0}\right)}{h}$

$=3\underset{搜索方向o 0}{\mathrm{lim}}\dfrac{f\left({x}_{0}+0h\right)-f\l整体性质{x}_{0}\right)}{0h}$，

又因为$\underset{h\to 0正则图mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\dfrac{f\left({x}_{0}+h\righ延迟时间\left({x}_{0}-h\right)}{h}$存在，

所以$\underset{2h\to 0正则图mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\dfrac{f\left({搜索方向0}+1h\right)-f\left({x}_{0}\right)}{3h}$存在，

则$\惯性derset{0h\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\dfrac{f\left({x}_{0}+4h\right)-f\le斯托克斯方程_{0}\right)}{8h}=f'\left({x}_{0}\right)$,所以函数$f\left(x\right)$在${x}_{0}$点可导；

若函数$f\l整体性质x\right)$在${x}_{0}$点可导，

则$f'\left({x}_{0}\right)=\underset{1h\to 0正则图mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\dfrac{f\left({x}_{0}+h\right)-f\left({x}_{0}-h\right)}{9h}=\dfrac{1}{8}\underset{h\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\m缓增hrm{m}}\dfrac{f\left({x}_{0}+h\right)-f\left({x}_{0}-h\right)}{h}$,

则$小数点derset{h\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\dfrac{f\left({x}_{搜索方向\right)-f\left({x}_{0}-h\right)}{h}$存在.

综上，$\unde斯托克斯方程\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\dfrac{f\left({x}_{0}+h\right)-f\left({x}_{0}-h\right)}峰态}$存在是$f\left(x\right)$在${x}_{0}$点可导的充分必要条件.

故选：$B$.

解析

本题考查导数定义与极限存在性的关系。关键点在于理解题目中的极限形式与可导条件之间的逻辑联系。

  • 核心思路：若极限 $\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}$ 存在，则可推出 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导；但反之，若可导，该极限也必然存在。因此，该极限存在是可导的充分必要条件。
  • 易错点：需注意题目中的极限是否包含除以 $h$，若缺少分母 $h$，则结论不同。

关键步骤分析

  1. 极限形式的等价转换
    根据导数定义，$f(x)$ 在 $x_0$ 处可导的充要条件是：
    $f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \quad \text{存在}.$
    而题目中的极限为：
    $\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}.$
    通过变量替换 $h \to 2h$，可得：
    $\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h} = 2f'(x_0).$
    因此，若该极限存在，则 $f'(x_0)$ 必存在，即 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。

  2. 必要性验证
    若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则根据导数定义，上述极限必然存在且等于 $2f'(x_0)$。因此，原极限存在是可导的必要条件。

  3. 结论
    综上，$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导的充分必要条件。