设 0 < P(B) < 1，P(A|B) + P(overline(A)|overline(B)) = 1，则 ( )A、A, B 互不相容B、A, B 互为对立C、A, B 不独立D、A, B 相互独立

我们来逐步分析题目：

题目条件：

• $ 0 < P(B) < 1 $：说明事件 $ B $ 发生的概率既不是 0 也不是 1，即 $ B $ 是一个普通的随机事件，其补事件 $ \overline{B} $ 也有正概率。
• $ P(A|B) + P(\overline{A}|\overline{B}) = 1 $

我们要根据这个等式，判断事件 $ A $ 和 $ B $ 之间的关系，从四个选项中选出正确答案。

第一步：理解条件概率

回忆条件概率的定义：

• $ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $
• $ P(\overline{A}|\overline{B}) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{B})} $

题目给出：

$P(A|B) + P(\overline{A}|\overline{B}) = 1$

代入定义：

$\frac{P(A \cap B)}{P(B)} + \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{B})} = 1 \tag{1}$

第二步：尝试推导关系

我们希望从这个等式中推导出 $ A $ 和 $ B $ 的关系。

考虑全概率的分解。

注意：事件 $ \overline{A} \cap \overline{B} $ 就是 $ \overline{A \cup B} $，即 $ A $ 和 $ B $ 都不发生。

我们尝试用集合关系来转化。

我们尝试将等式 (1) 变形：

令：

• $ x = P(A \cap B) $
• $ y = P(\overline{A} \cap \overline{B}) $
• $ P(B) = p $，则 $ P(\overline{B}) = 1 - p $，其中 $ 0 < p < 1 $

那么等式变为：

$\frac{x}{p} + \frac{y}{1 - p} = 1 \tag{2}$

我们希望找出这个等式成立时，$ A $ 和 $ B $ 的关系。

第三步：考虑独立性的定义

事件 $ A $ 和 $ B $ 相互独立，当且仅当：

$P(A \cap B) = P(A)P(B)$

我们尝试判断是否一定独立，或一定不独立。

但我们可以尝试从等式出发，看看是否能推出独立。

换个思路：利用补集和条件概率的关系。

注意：

• $ P(\overline{A}|\overline{B}) = 1 - P(A|\overline{B}) $

所以原式：

$P(A|B) + P(\overline{A}|\overline{B}) = P(A|B) + 1 - P(A|\overline{B}) = 1$

即：

$P(A|B) - P(A|\overline{B}) + 1 = 1 \Rightarrow P(A|B) = P(A|\overline{B})$

关键推导：

$P(A|B) = P(A|\overline{B})$

这说明：无论 $ B $ 是否发生，$ A $ 发生的条件概率都一样。

这正是 $ A $ 与 $ B $ 相互独立 的特征！

第四步：为什么 $ P(A|B) = P(A|\overline{B}) $ 意味着独立？

我们知道：

• 如果 $ A $ 与 $ B $ 独立，则 $ P(A|B) = P(A) $，且 $ P(A|\overline{B}) = P(A) $，所以两者相等。
• 反过来，如果 $ P(A|B) = P(A|\overline{B}) $，设都等于某个值 $ x $，那么我们可以计算全概率：

$P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\overline{B})P(\overline{B}) = x P(B) + x (1 - P(B)) = x$

所以 $ P(A) = x = P(A|B) $，即：

$P(A|B) = P(A)$

这正是独立的定义！

因此，$ P(A|B) = P(A|\overline{B}) \Rightarrow A $ 与 $ B $ 独立。

回到题目：

由题设：

$P(A|B) + P(\overline{A}|\overline{B}) = 1 \Rightarrow P(A|B) = P(A|\overline{B}) \Rightarrow A \text{ 与 } B \text{ 相互独立}$

判断选项：

A、A, B 互不相容
→ 互不相容意味着 $ P(A \cap B) = 0 $，但独立事件不一定不相交，除非其中一个概率为 0。而这里 $ P(B) > 0 $，且若 $ A $ 与 $ B $ 独立，$ P(A \cap B) = P(A)P(B) $，只有当 $ P(A) = 0 $ 时才为 0，但题目没说。所以不一定互不相容。错误

B、A, B 互为对立
→ 对立事件要求 $ A = \overline{B} $，显然更强，题目没有这个信息。错误

C、A, B 不独立
→ 我们刚刚推出是独立的，所以这个错。

D、A, B 相互独立
→ 正确！

✅ 最终答案：

$\boxed{\text{D}}$