4.判断级数 sum _(n=1)^infty dfrac ({3)^nn!}({n)^n} 的敛散性: __

步骤 1：确定级数形式
级数形式为 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n}\)。

步骤 2：应用比值判别法
比值判别法用于判断级数的敛散性，其核心是计算相邻项的比值的极限。对于级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)，如果 \(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L\)，则当 \(L < 1\) 时级数收敛，当 \(L > 1\) 时级数发散，当 \(L = 1\) 时判别法无效。
对于给定的级数，我们有 \(a_n = \frac{3^n}{n}\)。因此，\(a_{n+1} = \frac{3^{n+1}}{n+1}\)。
计算比值 \(\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\)：
\[
\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{\frac{3^{n+1}}{n+1}}{\frac{3^n}{n}} \right| = \left| \frac{3^{n+1}n}{3^n(n+1)} \right| = \left| \frac{3n}{n+1} \right| = \frac{3n}{n+1}
\]
步骤 3：计算比值的极限
计算 \(\lim_{n \to \infty} \frac{3n}{n+1}\)：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{3n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{1+\frac{1}{n}} = 3
\]
因为比值的极限 \(L = 3 > 1\)，根据比值判别法，级数发散。