1.12/设方阵A满足关系式 A^2-A-2I=0, 试证A及 A+2I 均可逆.

考查要点：本题主要考查矩阵可逆的判定方法，以及利用矩阵方程进行代数变形的能力。关键在于通过给定的矩阵方程，找到与矩阵$A$及其相关矩阵（如$A+2I$）可逆的关联关系。

解题核心思路：

1. 证明$A$可逆：将原方程$A^2 - A - 2I = 0$变形为$A$与某个矩阵的乘积等于标量矩阵的形式，从而直接得出$A^{-1}$的表达式。
2. 证明$A+2I$可逆：利用$A$的可逆性，结合原方程推导出$A+2I$的表达式，或构造与$A+2I$相乘后得到标量矩阵的矩阵，从而确定其逆矩阵的存在性。

破题关键点：

• 代数变形：将方程中的高次项降阶，提取公共因子或利用已知可逆性。
• 逆矩阵的构造：通过方程变形直接写出逆矩阵，或通过矩阵乘法验证逆矩阵的存在性。

证明$A$可逆

1. 方程变形：
   由原方程$A^2 - A - 2I = 0$，移项得：
   $A^2 - A = 2I.$
   左侧提取$A$，得：
   $A(A - I) = 2I.$
2. 构造逆矩阵：
   将等式两边同时乘以$\frac{1}{2}$，得：
   $A \cdot \frac{1}{2}(A - I) = I.$
   根据逆矩阵的定义，$A^{-1} = \frac{1}{2}(A - I)$，因此$A$可逆。

证明$A+2I$可逆

方法一：利用$A$的可逆性

1. 方程变形：
   由原方程$A^2 - A - 2I = 0$，移项得：
   $A^2 = A + 2I.$
   因此，$A + 2I = A^2$。
2. 可逆性传递：
   由于$A$可逆，$A^2 = A \cdot A$显然可逆，且其逆矩阵为$(A^{-1})^2$。因此，$A + 2I = A^2$可逆。

方法二：构造逆矩阵

1. 构造乘积：
   考虑矩阵$A + 2I$与$A - 3I$的乘积：
   $(A + 2I)(A - 3I) = A^2 - 3A + 2A - 6I = A^2 - A - 6I.$
2. 代入原方程：
   由$A^2 - A = 2I$，代入得：
   $A^2 - A - 6I = 2I - 6I = -4I.$
3. 调整标量因子：
   两边同时乘以$-\frac{1}{4}$，得：
   $(A + 2I) \cdot \left(-\frac{1}{4}(A - 3I)\right) = I.$
   因此，$(A + 2I)^{-1} = -\frac{1}{4}(A - 3I)$，即$A + 2I$可逆。