已知f(x)是可导的函数,则f(x)( )A. ,f(x); B. ,f(x); C. ,f(x); D. ,f(x)

考查要点：本题主要考查导数的定义及极限的计算，需要学生理解导数的本质，并能灵活运用导数的定义式进行变形。

解题核心思路：
题目中的极限形式与导数的定义式相似，但分子为$f(h)-f(-h)$，需通过变形将其转化为已知点（通常是$x=0$）的导数表达式。关键在于将分子拆分为两个导数的组合，或利用洛必达法则直接求解。

破题关键点：

1. 识别导数定义的变形：分子中的$f(h)-f(-h)$可拆解为$f(h)-f(0)$和$f(0)-f(-h)$两部分，分别对应$f'(0)$的定义式。
2. 灵活应用导数性质：若分子分母均趋近于0，可考虑使用洛必达法则简化计算。

方法一：拆分分子
将分子$f(h)-f(-h)$拆分为两部分：
$\begin{aligned}\lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(-h)}{h} &= \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(h)-f(0)}{h} + \frac{f(0)-f(-h)}{h} \right) \\&= \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{f(0)-f(-h)}{h}.\end{aligned}$

• 第一项$\lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}$是$f'(0)$的定义式。
• 第二项中，令$k = -h$，则当$h \to 0$时$k \to 0$，原式变为：
  $\lim_{k \to 0} \frac{f(0)-f(k)}{-k} = \lim_{k \to 0} \frac{f(k)-f(0)}{k} = f'(0).$

因此，原式等于$f'(0) + f'(0) = 2f'(0)$。

方法二：洛必达法则
分子$f(h)-f(-h)$和分母$h$在$h \to 0$时均趋近于0，满足洛必达法则条件：
$\begin{aligned}\lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(-h)}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{f'(h) + f'(-h)}{1} \quad (\text{对分子分母分别求导}) \\&= f'(0) + f'(0) = 2f'(0).\end{aligned}$