(8)lim ((sin x))^tan x-|||-arrow dfrac (pi )(2)

本题考查重要极限、等价无穷小替换以及洛必达法则在求解极限中的应用，核心是处理$1^\infty$型极限问题。

步骤1：识别极限类型

当$x\rightarrow\frac{\pi}{2}$时：

• $\sin x\rightarrow\sin\frac{\pi}{2}=1$
• $\tan x\rightarrow\tan\frac{\pi}{2}\rightarrow+\infty$
  故原式为$1^\infty$型极限，需转化为指数形式求解。

步骤2：转化为指数形式

对$(\sin x)^{\tan x}$取自然对数，设$L=\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}(\sin x)^{\tan x}$，则：
$\ln L=\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\ln\left[(\sin x)^{\tan x}\right]=\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\tan x\cdot\ln\sin x$
此时$\tan x\rightarrow+\infty$，$\ln\sin x\rightarrow\ln1=0$，转化为$\infty\cdot0$型极限，进一步改写为$\frac{0}{0}$型以便用洛必达法则：
$\ln L=\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{\ln\sin x}{\cot x}\quad(\text{因}\cot x=\frac{1}{\tan x}\rightarrow0)$

步骤3：应用洛必达法则

对分子分母分别求导：

• 分子导数：$(\ln\sin x)'=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x$
• 分母导数：$(\cot x)'=-\csc^2 x=-\frac{1}{\sin^2 x}$

代入得：
$\ln L=\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{\cot x}{-\frac{1}{\sin^2 x}}=\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}-\cot x\cdot\sin^2 x$
化简$\cot x\cdot\sin^2 x=\frac{\cos x}{\sin x}\cdot\sin^2 x=\sin x\cos x$，故：
$\ln L=\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}(-\sin x\cos x)=-\sin\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}=-1\cdot0=0$

步骤4：还原指数形式

因$\ln L=0$，故$L=e^0=1$。